Determine os pontos críticos de cada função:
R.
R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa funções de várias variáveis para encontrar seus pontos especiais, como pontos críticos. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e ver onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Fatorando:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero:
Então, temos:
Como
nunca é zero, podemos simplificar:
Passo 5
Vamos resolver as equações:
-
-
ou ou
-
-
-
ou
-
Analisando essas possibilidades:
- Se
: - Da segunda equação, não há restrição adicional para
. - Portanto, um ponto crítico é
.
- Da segunda equação, não há restrição adicional para
- Se
: - Da segunda equação,
, então . - Já temos o ponto
.
- Da segunda equação,
- Se
e : -
e . - Esses pontos também são críticos.
-
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.