Determine os pontos críticos de cada função:
f(x, y)=x^2 y e^-x^2-y^2
R. (0,0),( pm raiz22, pm raiz22)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar os pontos críticos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa funções de várias variáveis para encontrar seus pontos especiais, como pontos críticos. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e e ver onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de fx = partialpartial x(x^2 y e^-x^2-y^2) em relação a fx = y e^-x^2-y^2 cdot 2x + x^2 y cdot (-2x) e^-x^2-y^2 = 2x y e^-x^2-y^2 - 2x^3 y e^-x^2-y^2 , que a gente chama de fx = 2x y e^-x^2-y^2 (1 - x^2) . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Usando a regra do produto:
Podemos fatorar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de fy = partialpartial y(x^2 y e^-x^2-y^2) em relação a fy = x^2 e^-x^2-y^2 + x^2 y cdot (-2y) e^-x^2-y^2 = x^2 e^-x^2-y^2 - 2x^2 y^2 e^-x^2-y^2 , que é fy = x^2 e^-x^2-y^2 (1 - 2y^2) :
Aplicando a regra do produto novamente:
Fatorando:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos que ambas as derivadas parciais sejam iguais a zero:
fx = 0 e fy = 0
Então, temos:
2x y e^-x^2-y^2 (1 - x^2) = 0
x^2 e^-x^2-y^2 (1 - 2y^2) = 0
Como 2x y (1 - x^2) = 0 nunca é zero, podemos simplificar:
x^2 (1 - 2y^2) = 0

Passo 5

Vamos resolver as equações:
    • ou ou
    • ou
Analisando essas possibilidades:
  • Se :
    • Da segunda equação, não há restrição adicional para .
    • Portanto, um ponto crítico é .
  • Se :
    • Da segunda equação, , então .
    • Já temos o ponto .
  • Se e :
    • e .
    • Esses pontos também são críticos.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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