Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
\lim _{t \rightarrow 2}\left(\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3 t+5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{t \to 2}\Bigl(\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5}\Bigr)^{2}
O conteúdo é cálculo de limite de função composta: usamos a continuidade de polinômios, a propriedade do quociente de limites e a propriedade do limite da potência.

Passo 2

Pela propriedade do limite da potência, se f(t)=\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5} é tal que \lim_{t\to2}f(t) existe, então
\lim_{t\to2}[f(t)]^{2} = \Bigl(\lim_{t\to2}f(t)\Bigr)^{2}.
Logo basta calcular \lim_{t\to2}\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5}.

Passo 3

Pela propriedade do quociente de limites, se \lim_{t\to2}A(t)=L e \lim_{t\to2}B(t)=M\neq0, então
\lim_{t\to2}\frac{A(t)}{B(t)} = \frac{L}{M}.
Aqui A(t)=t^{2}-2 e B(t)=t^{3}-3t+5.

Passo 4

Calculamos o limite do numerador usando a continuidade de polinômios:
\lim_{t\to2}(t^{2}-2) = 2^{2}-2 = 4-2 = 2.

Passo 5

Calculamos o limite do denominador também por continuidade de polinômios:
\lim_{t\to2}(t^{3}-3t+5) = 2^{3}-3\cdot2+5 = 8-6+5 = 7,
e 7\neq0, então podemos aplicar o quociente.

Passo 6

Portanto,
\lim_{t\to2}\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5} = \frac{2}{7}.
Voltando à potência, temos
\lim_{t\to2}\Bigl(\frac{t^{2}-2}{t^{3}-3t+5}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{2}{7}\Bigr)^{2} = \frac{4}{49}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{49}

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