Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
\lim _{x \rightarrow 8}(1+\sqrt[3]{x})\left(2-6 x^{2}+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \rightarrow 8}(1+\sqrt[3]{x})\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr)
usando propriedades de limite, em particular as propriedades de soma, produto e continuidade de funções elementares (polinômios e raízes).

Passo 2

Separemos a expressão em duas funções cujos limites conhecemos melhor:
f(x)=1+\sqrt[3]{x},\qquad g(x)=2-6x^{2}+x^{3}.
Pela propriedade do limite do produto, temos
\lim_{x\to8}f(x)\,g(x) =\Bigl(\lim_{x\to8}f(x)\Bigr)\times\Bigl(\lim_{x\to8}g(x)\Bigr),
desde que ambos os limites existam e sejam finitos.

Passo 3

Calculamos \lim_{x\to8}f(x). Usando a propriedade de soma e a continuidade da raiz cúbica em x=8,
\lim_{x\to8}f(x) =\lim_{x\to8}\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr) =\lim_{x\to8}1+\lim_{x\to8}\sqrt[3]{x} =1+ \sqrt[3]{8} =1+2 =3.

Passo 4

Calculamos \lim_{x\to8}g(x). Como g é um polinômio, ele é contínuo em todo lugar, logo
\lim_{x\to8}g(x) =2-6\cdot8^{2}+8^{3} =2-6\cdot64+512 =2-384+512 =130.

Passo 5

Aplicando a propriedade do produto de limites, obtemos
\lim_{x\to8}(1+\sqrt[3]{x})\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr) =\Bigl(\lim_{x\to8}f(x)\Bigr)\times\Bigl(\lim_{x\to8}g(x)\Bigr) =3\times130 =390.

Resposta

390

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