Dado que.
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4 \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2 \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
Encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}

Passo 1

O enunciado dá \lim_{x\to2}g(x)=-2 e \lim_{x\to2}h(x)=0
e pede \lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}.
Vamos usar a propriedade de limites para quociente: se \lim g e \lim h existem, então \lim\frac{g}{h}=\frac{\lim g}{\lim h},
desde que \lim h\neq0.

Passo 2

Aqui temos \lim_{x\to2}g(x)=-2\neq0
e \lim_{x\to2}h(x)=0.
Logo, na tentativa de aplicar a regra do quociente, nosso denominador tende a zero.

Passo 3

Quando o denominador de um quociente de funções tende a zero e o numerador tende a um valor não nulo, o valor absoluto do quociente cresce sem limite. Em outras palavras, não há convergência para nenhum número real (o quociente “explode” para +\infty ou -\infty, dependendo do sinal de h(x) próximo de 2).

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}
não existe, pois o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a -2\neq0, fazendo o quociente divergir.

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