Questão 27. Indicar quais das seguintes sentenças é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
( ) Seja f um campo escalar definido por f(x, y)=x^{2} arcsen y. Então, o rotacional do gradiente de f é ortogonal ao campo gradiente de g(x, y)=y^{2} \operatorname{arcsen} x.
( ) Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{div}(\operatorname{rot} \nabla f)=0.
( ) Existe um campo vetorial \vec{G} tal que (\nabla \times \vec{G})(x, y)=y z \vec{i}+x y z \vec{j}+x y \vec{k}.
( ) Se \vec{F} é um campo conservativo em \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x, y, z)=a \psi(y, z) \vec{i}+b \varphi(x, z) \vec{j}+c \lambda(x, y) \vec{k}, então \vec{F} é incompressível e irrotacional.
( ) Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{div}(\operatorname{rot} \nabla f)=0.
( ) Seja \vec{F}=P \vec{i}+Q \vec{j}, onde P e Q são diferenciáveis. Se \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}, então \vec{F} é conservativo.
( ) Seja \vec{r}(t)=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j}+z(t) \vec{k}, onde r=\|\vec{r}(t)\|. Então
\nabla(\ln r)=\frac{\vec{r}}{r^{2}}

Passo 1

Vou listar, com clareza, as sentenças que o enunciado pede para avaliar (cada linha é uma das sentenças que aparecem no enunciado, exatamente na mesma ordem):
  1. Seja f um campo escalar definido por f(x,y)=x^{2}\arcsin y. Então, o rotacional do gradiente de f é ortogonal ao campo gradiente de g(x,y)=y^{2}\arcsin x.
  2. Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{div}(\operatorname{rot}\nabla f)=0.
  3. Existe um campo vetorial \vec{G} tal que (\nabla\times\vec{G})(x,y)=y z\,\vec{i}+x y z\,\vec{j}+x y\,\vec{k}.
  4. Se \vec{F} é um campo conservativo em \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x,y,z)=a\,\psi(y,z)\,\vec{i}+b\,\varphi(x,z)\,\vec{j}+c\,\lambda(x,y)\,\vec{k}, então \vec{F} é incompressível e irrotacional.
  5. (Repetida) Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{div}(\operatorname{rot}\nabla f)=0.
  6. Seja \vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}, onde P e Q são diferenciáveis. Se \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}, então \vec{F} é conservativo.
  7. Seja \vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}, onde r=\|\vec{r}(t)\|. Então
\nabla(\ln r)=\frac{\vec{r}}{r^{2}}.
Agora vou analisar cada sentença, justificando e explicando os conceitos usados passo a passo, para que você consiga entender exatamente o porquê de cada resposta.

Passo 2

Identidade básica usada várias vezes: o rotacional do gradiente é sempre o vetor nulo quando as segundas derivadas mistas são contínuas. Mais precisamente, para uma função f com as derivadas necessárias,
\nabla\times(\nabla f)=\vec{0}.
Rápida justificativa (ideia):
  • Em componentes (assumindo coordenadas cartesianas (x,y,z)), a componente i-ésima do \nabla\times(\nabla f) é uma diferença de derivadas mistas, por exemplo a componente i envolve f_{yz}-f_{zy}. Se as derivadas mistas são contínuas, f_{yz}=f_{zy}, então essa componente é zero. O mesmo para as demais componentes. Assim o rotacional do gradiente é o vetor nulo.

Passo 3

Análise da sentença 1.
  • O enunciado dá f(x,y)=x^{2}\arcsin y e g(x,y)=y^{2}\arcsin x. Não é preciso calcular explicitamente \nabla f nem \nabla g para responder, porque vale a identidade do passo anterior: \nabla\times(\nabla f)=\vec{0} (onde f é suficientemente suave no domínio considerado; aqui \arcsin exige |x|,|y|\le1, mas em qualquer região onde as derivadas existam a identidade vale).
  • O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor (produto escalar com qualquer vetor dá zero).
  • Portanto \nabla\times(\nabla f)=\vec{0} é ortogonal a \nabla g (sem necessidade de mais hipóteses).
    Conclusão: a sentença 1 é Verdadeira.
(Comentário didático curto: quando vês “rotacional do gradiente”, já podes disparar a lembrança “isso é zero” — uma daquelas identidades que salvam tempo na prova.)

Passo 4

Análise da sentença 2 (e também da repetida na 5).
  • Usar a identidade do passo 2: \nabla\times(\nabla f)=\vec{0}.
  • Então \operatorname{rot}\nabla f=\vec{0}. Aplicando a divergência,
\operatorname{div}(\operatorname{rot}\nabla f)=\operatorname{div}(\vec{0})=0.
  • A hipótese de derivadas parciais de todas as ordens contínuas garante as igualdades de derivadas mistas necessárias, mas, na verdade, a identidade \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\cdot))\equiv0 vale sempre quando as componentes são suficientemente suaves — é uma identidade vetorial padrão: a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial (aqui o campo vetorial é \nabla f) é zero.
    Conclusão: as sentenças 2 e 5 são Verdadeiras.
(Aqui vale reforçar: existe outra identidade útil: \operatorname{div}(\nabla\times \vec{A})\equiv 0 para qualquer \vec{A} suave.)

Passo 5

Análise da sentença 3.
  • Queremos saber se existe \vec{G} tal que \nabla\times\vec{G} = \vec{H}, onde
\vec{H}(x,y,z)=y z\,\vec{i}+x y z\,\vec{j}+x y\,\vec{k}.
  • Uma condição necessária (e, em domínios simplesmente conexos, também suficiente) para que um campo \vec{H} seja um rotacional é que sua divergência seja zero:
\operatorname{div}\vec{H}=\frac{\partial}{\partial x}(y z)+\frac{\partial}{\partial y}(x y z)+\frac{\partial}{\partial z}(x y).
  • Calcule cada termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(y z)=0 (porque y z não depende de x),
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z,
    • \dfrac{\partial}{\partial z}(x y)=0.
  • Logo
\operatorname{div}\vec{H}=0 + x z + 0 = x z.
  • Como \operatorname{div}\vec{H}=x z não é identicamente zero em \mathbb{R}^{3} (por exemplo em pontos com x\neq0 e z\neq0 dá valor não nulo), \vec{H} não pode ser o rotacional de um campo vetorial \vec{G} definido em todo \mathbb{R}^{3}.
    Conclusão: a sentença 3 é Falsa.
(Dica prática: ao ver “existe G tal que curl G = …”, primeiro calcula divergence do RHS; se não for zero, não existe tal G global em domínio simples.)

Passo 6

Análise da sentença 4.
  • A hipótese: \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3} e tem a forma
\vec{F}(x,y,z)=a\,\psi(y,z)\,\vec{i}+b\,\varphi(x,z)\,\vec{j}+c\,\lambda(x,y)\,\vec{k},
com a,b,c constantes e \psi,\varphi,\lambda funções das variáveis indicadas.
  • Primeiro, se \vec{F} é conservativo então existe um potencial escalar U tal que \vec{F}=\nabla U. Uma propriedade imediata disso é que \nabla\times\vec{F}=\vec{0}. Ou seja, conservativo implica irrotacional. Então a parte “irrotacional” da afirmação é verdadeira.
  • Agora a parte “incompressível” significa \operatorname{div}\vec{F}=0. Calcule a divergência da forma dada:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a\,\psi(y,z)\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(b\,\varphi(x,z)\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(c\,\lambda(x,y)\bigr).
  • Cada derivada parcial é zero porque cada componente depende apenas de duas coordenadas que não incluem a coordenada da derivação:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(a\,\psi(y,z)\bigr)=0,
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(b\,\varphi(x,z)\bigr)=0,
    • \dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(c\,\lambda(x,y)\bigr)=0.
  • Logo \operatorname{div}\vec{F}=0. Portanto a forma dada garante incompressibilidade independentemente de detalhar o potencial.
  • Combinando: a forma garante \operatorname{div}\vec{F}=0 e a hipótese “ \vec{F} é conservativo” garante \nabla\times\vec{F}=\vec{0}. Ambas as conclusões da afirmação estão corretas.
    Conclusão: a sentença 4 é Verdadeira.
(Observação: nem todo campo conservativo é automaticamente incompressível, mas nesta forma específica a divergência é zero por construção.)

Passo 7

Análise da sentença 6 (sobre o plano).
  • A condição dada é \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}. Isso é a condição clássica necessária para um campo planar \vec{F}=(P,Q) ser conservativo (no sentido de existência local de potencial).
  • Contudo, a condição é suficiente apenas em domínios simplesmente conexos (por exemplo \mathbb{R}^{2} inteiro ou qualquer aberto simplesmente conexo). Se o domínio do campo não for simplesmente conexo, a condição pode ocorrer e, ainda assim, o campo não ser conservativo globalmente.
  • Um contraexemplo clássico (campo definido em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}, que não é simplesmente conexo) é
P(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Calcule as derivadas:
    • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
    • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
      Assim são iguais em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}.
  • Apesar disso, \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}: por exemplo a integral de linha ao longo da circunferência unitária (centro na origem) de P\,dx+Q\,dy 2\pi\neq0, logo não existe potencial global único.
  • Portanto a afirmação “se \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y então \vec{F} é conservativo” está incompleta sem a hipótese de domínio simplesmente conexo; tal como está escrita, é falsa (pois falta a hipótese de domínio).
    Conclusão: a sentença 6 é Falsa (a menos que se acrescentasse “no domínio simplesmente conexo”, mas o enunciado não faz isso).

Passo 8

Análise da sentença 7.
  • Notação: aqui \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição (ou \vec{r}(t) avaliado em alguma t), e r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} é a coordenada radial. A função escalar \ln r é \ln(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}).
  • Para calcular o gradiente, aplicamos a regra da cadeia componente a componente. Por exemplo,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln r\bigr)=\frac{1}{r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}.
  • E \dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\dfrac{x}{r}.
  • Assim
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln r\bigr)=\frac{1}{r}\cdot\frac{x}{r}=\frac{x}{r^{2}}.
  • Analogamente \dfrac{\partial}{\partial y}(\ln r)=\dfrac{y}{r^{2}} e \dfrac{\partial}{\partial z}(\ln r)=\dfrac{z}{r^{2}}.
  • Reunindo em vetor:
\nabla(\ln r)=\frac{x}{r^{2}}\vec{i}+\frac{y}{r^{2}}\vec{j}+\frac{z}{r^{2}}\vec{k}=\frac{\vec{r}}{r^{2}}.
  • Observação: vale para r\neq0 (em r=0 a função \ln r não está definida).
    Conclusão: a sentença 7 é Verdadeira.

Resposta

Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro

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