Questão 27. Indicar quais das seguintes sentenças é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
( ) Seja
um campo escalar definido por
arcsen
. Então, o rotacional do gradiente de
é ortogonal ao campo gradiente de
.
( ) Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
.
( ) Existe um campo vetorial
tal que
.
( ) Se
é um campo conservativo em
dado por
, então
é incompressível e irrotacional.
( ) Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
.
( ) Seja
, onde
e
são diferenciáveis. Se
, então
é conservativo.
( ) Seja
, onde
. Então
( ) Seja
( ) Se
( ) Existe um campo vetorial
( ) Se
( ) Se
( ) Seja
( ) Seja
Passo 1
Vou listar, com clareza, as sentenças que o enunciado pede para avaliar (cada linha é uma das sentenças que aparecem no enunciado, exatamente na mesma ordem):
-
Seja
um campo escalar definido por . Então, o rotacional do gradiente de é ortogonal ao campo gradiente de . -
Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre , então . -
Existe um campo vetorial
tal que . -
Se
é um campo conservativo em dado por , então é incompressível e irrotacional. -
(Repetida) Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre , então . -
Seja
, onde e são diferenciáveis. Se , então é conservativo. -
Seja
, onde . Então
Agora vou analisar cada sentença, justificando e explicando os conceitos usados passo a passo, para que você consiga entender exatamente o porquê de cada resposta.
Passo 2
Identidade básica usada várias vezes: o rotacional do gradiente é sempre o vetor nulo quando as segundas derivadas mistas são contínuas. Mais precisamente, para uma função
com as derivadas necessárias,
Rápida justificativa (ideia):
- Em componentes (assumindo coordenadas cartesianas
), a componente -ésima do é uma diferença de derivadas mistas, por exemplo a componente envolve . Se as derivadas mistas são contínuas, , então essa componente é zero. O mesmo para as demais componentes. Assim o rotacional do gradiente é o vetor nulo.
Passo 3
Análise da sentença 1.
- O enunciado dá
e . Não é preciso calcular explicitamente nem para responder, porque vale a identidade do passo anterior: (onde é suficientemente suave no domínio considerado; aqui exige , mas em qualquer região onde as derivadas existam a identidade vale). - O vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor (produto escalar com qualquer vetor dá zero).
- Portanto
é ortogonal a (sem necessidade de mais hipóteses).
Conclusão: a sentença 1 é Verdadeira.
(Comentário didático curto: quando vês “rotacional do gradiente”, já podes disparar a lembrança “isso é zero” — uma daquelas identidades que salvam tempo na prova.)
Passo 4
Análise da sentença 2 (e também da repetida na 5).
- Usar a identidade do passo 2:
. - Então
. Aplicando a divergência,
- A hipótese de derivadas parciais de todas as ordens contínuas garante as igualdades de derivadas mistas necessárias, mas, na verdade, a identidade
vale sempre quando as componentes são suficientemente suaves — é uma identidade vetorial padrão: a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial (aqui o campo vetorial é ) é zero.
Conclusão: as sentenças 2 e 5 são Verdadeiras.
(Aqui vale reforçar: existe outra identidade útil:
para qualquer
suave.)
Passo 5
Análise da sentença 3.
- Queremos saber se existe
tal que , onde
- Uma condição necessária (e, em domínios simplesmente conexos, também suficiente) para que um campo
seja um rotacional é que sua divergência seja zero:
- Calcule cada termo:
-
(porque não depende de ), -
, -
.
-
- Logo
- Como
não é identicamente zero em (por exemplo em pontos com e dá valor não nulo), não pode ser o rotacional de um campo vetorial definido em todo .
Conclusão: a sentença 3 é Falsa.
(Dica prática: ao ver “existe G tal que curl G = …”, primeiro calcula divergence do RHS; se não for zero, não existe tal G global em domínio simples.)
Passo 6
Análise da sentença 4.
- A hipótese:
é conservativo em e tem a forma
com
constantes e
funções das variáveis indicadas.
- Primeiro, se
é conservativo então existe um potencial escalar tal que . Uma propriedade imediata disso é que . Ou seja, conservativo implica irrotacional. Então a parte “irrotacional” da afirmação é verdadeira. - Agora a parte “incompressível” significa
. Calcule a divergência da forma dada:
- Cada derivada parcial é zero porque cada componente depende apenas de duas coordenadas que não incluem a coordenada da derivação:
-
, -
, -
.
-
- Logo
. Portanto a forma dada garante incompressibilidade independentemente de detalhar o potencial. - Combinando: a forma garante
e a hipótese “ é conservativo” garante . Ambas as conclusões da afirmação estão corretas.
Conclusão: a sentença 4 é Verdadeira.
(Observação: nem todo campo conservativo é automaticamente incompressível, mas nesta forma específica a divergência é zero por construção.)
Passo 7
Análise da sentença 6 (sobre o plano).
- A condição dada é
. Isso é a condição clássica necessária para um campo planar ser conservativo (no sentido de existência local de potencial). - Contudo, a condição é suficiente apenas em domínios simplesmente conexos (por exemplo
inteiro ou qualquer aberto simplesmente conexo). Se o domínio do campo não for simplesmente conexo, a condição pode ocorrer e, ainda assim, o campo não ser conservativo globalmente. - Um contraexemplo clássico (campo definido em
, que não é simplesmente conexo) é
- Calcule as derivadas:
-
, -
.
Assim são iguais em.
-
- Apesar disso,
não é conservativo em : por exemplo a integral de linha ao longo da circunferência unitária (centro na origem) de dá , logo não existe potencial global único. - Portanto a afirmação “se
então é conservativo” está incompleta sem a hipótese de domínio simplesmente conexo; tal como está escrita, é falsa (pois falta a hipótese de domínio).
Conclusão: a sentença 6 é Falsa (a menos que se acrescentasse “no domínio simplesmente conexo”, mas o enunciado não faz isso).
Passo 8
Análise da sentença 7.
- Notação: aqui
é o vetor posição (ou avaliado em alguma ), e é a coordenada radial. A função escalar é . - Para calcular o gradiente, aplicamos a regra da cadeia componente a componente. Por exemplo,
- E
. - Assim
- Analogamente
e . - Reunindo em vetor:
- Observação: vale para
(em a função não está definida).
Conclusão: a sentença 7 é Verdadeira.
Resposta
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro