Questão 31. Se um arame com densidade linear
está sobre uma curva plana
, seu momento de inércia em relação aos eixos
e y são definidos como
Passo 1
O enunciado fornecido dá as definições dos momentos de inércia de um arame (fio) distribuído sobre uma curva plana
:
Informações explícitas presentes:
- A fórmula de
e .
Informações que o enunciado não fornece (e que são necessárias para calcular valores numéricos): - Qual é a curva
(parametrização ou equação), e - Qual é a densidade linear
ao longo do arame (por exemplo constante ou função de ).
O enunciado, como foi enviado, não contém uma pergunta explícita do tipo “calculepara tal curva” nem fornece nem . Portanto ainda não há dados suficientes para um cálculo numérico direto.
Passo 2
Como se resolve este tipo de integral em geral — ideia e notação (estratégia padrão que serve para a prova).
- Parametrizar a curva
por um parâmetro : usar uma função com . Isto significa que cada ponto da curva é dado por . - O elemento de comprimento de arco
é dado por
Expliquei:
e
. A raiz vem do teorema de Pitágoras aplicado ao diferencial de posição.
- Substituir
, , e acima nas integrais de linha. Assim as integrais passam a integrais no intervalo :
- Cada símbolo significa:
-
: coordenadas do ponto na curva. -
: densidade linear em unidades de massa por comprimento (por ex. kg/m). -
: pequeno pedaço de comprimento da curva. -
mede resistência à rotação em torno do eixo (term. físico), integrando vezes massa de cada fatia; análogo para .
-
Passo 3
Dicas práticas e simplificações úteis (coisas que facilitam muito na prova).
- Se
for constante, digamos , então sai da integral e sobra só integrar ou . - Usar simetrias: se a curva e
têm simetria, muitas integrais se simplificam. Exemplos: - Se a curva é simétrica em relação ao eixo
(para cada existe com mesma ), então pode ser calculado dobrando a integral sobre metade da curva. - Atenção: integrando
(ou ) não ocorre cancelamento de sinais por reflexão, pois é sempre não-negativo — as simetrias ajudam a reduzir intervalo de integração, não a zerar o valor (exceto quando ou na curva).
- Se a curva é simétrica em relação ao eixo
- Relacione massa total
do arame com : se constante, a massa . Às vezes dá para expressar em termos de e um comprimento/raio característico, o que é prático nas respostas.
Passo 4
Exemplo concreto 1 (círculo de raio
centrado na origem, densidade linear constante
) — resolução passo a passo modelar para prova.
- Parametrização natural:
- Derivadas:
- Cálculo de
:
- Substituir em
:
- Calcular a integral trigonométrica:
(porque e o termo em integra zero em um período). - Logo
. - Mesma conta para
pela simetria (trocar por dá mesmo resultado):
- Escrever em função da massa total
. O comprimento do círculo é , então . Assim e
Resumo do exemplo: para um anel fino (arame) uniforme de raio
,
.
Passo 5
Exemplo concreto 2 (barra reta uniformemente densa ao longo do eixo
de
a
) — passo a passo.
- Parametrização:
. - Aqui
(orientação positiva). - Para
:
- Para
:
- Em termos da massa
, tem-se .
Isto é um resultado padrão: momento de inércia de uma barra fina (sobre o eixo perpendicular passando pelo centro) é.
Passo 6
Outros pontos práticos e pequenos lembretes para a hora da prova (o que costuma cair e o que facilita):
- Sempre verificar se a parametrização cobre a curva uma única vez; se cobre múltiplas vezes, ajustar os limites.
- Se
depende de ou , substitua explicitamente antes de integrar; às vezes a dependência simplifica com trigonometria. - Use identidades trigonométricas para integrar funções quadráticas de seno/cosseno (por ex.
). - Para curvas compostas por segmentos, compute as integrais segmento a segmento e some (linearidade da integral de linha).
- Recorde mental rápido: para anel fino uniforme
; para barra fina (eixo pelo centro, perpendicular) . Esses aparecem muito em provas.
Passo 7
Conclusão prática sobre o enunciado recebido:
- Com as fórmulas dadas, o procedimento está claro: parametrizar
, calcular , substituir e integrar conforme mostrado nos exemplos. - No entanto, não é possível dar um valor numérico ou uma expressão específica para
e sem que sejam fornecidos explicitamente a curva (ou sua parametrização) e a densidade . Por isso não foi possível calcular valores finais a partir do texto enviado.
Resposta
Não é possível calcular
e
porque o enunciado não fornece a curva
nem a densidade
.