Questão 31. Se um arame com densidade linear \rho(x, y) está sobre uma curva plana C, seu momento de inércia em relação aos eixos x e y são definidos como
I_{x}=\oint_{C} y^{2} \rho(x, y) d s \quad e \quad I_{y}=\oint_{C} x^{2} \rho(x, y) d s

Passo 1

O enunciado fornecido dá as definições dos momentos de inércia de um arame (fio) distribuído sobre uma curva plana C:
I_{x}=\oint_{C} y^{2} \rho(x,y)\, d s \qquad\text{e}\qquad I_{y}=\oint_{C} x^{2} \rho(x,y)\, d s.
Informações explícitas presentes:
  • A fórmula de I_x e I_y.
    Informações que o enunciado não fornece (e que são necessárias para calcular valores numéricos):
  • Qual é a curva C (parametrização ou equação), e
  • Qual é a densidade linear \rho(x,y) ao longo do arame (por exemplo \rho constante ou função de x,y).
    O enunciado, como foi enviado, não contém uma pergunta explícita do tipo “calcule I_x,I_y para tal curva” nem fornece C nem \rho. Portanto ainda não há dados suficientes para um cálculo numérico direto.

Passo 2

Como se resolve este tipo de integral em geral — ideia e notação (estratégia padrão que serve para a prova).
  • Parametrizar a curva C por um parâmetro t: usar uma função \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) com t\in[a,b]. Isto significa que cada ponto da curva é dado por (x(t),y(t)).
  • O elemento de comprimento de arco d s é dado por
d s=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\, d t.
Expliquei: x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. A raiz vem do teorema de Pitágoras aplicado ao diferencial de posição.
  • Substituir x=x(t), y=y(t), \rho(x,y)=\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr) e d s acima nas integrais de linha. Assim as integrais passam a integrais no intervalo [a,b]:
I_x=\int_{a}^{b} \bigl(y(t)\bigr)^2\,\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\, d t,
I_y=\int_{a}^{b} \bigl(x(t)\bigr)^2\,\rho\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\, d t.
  • Cada símbolo significa:
    • x(t),y(t): coordenadas do ponto na curva.
    • \rho(x,y): densidade linear em unidades de massa por comprimento (por ex. kg/m).
    • d s: pequeno pedaço de comprimento da curva.
    • I_x mede resistência à rotação em torno do eixo x (term. físico), integrando y^2 vezes massa de cada fatia; análogo para I_y.

Passo 3

Dicas práticas e simplificações úteis (coisas que facilitam muito na prova).
  • Se \rho for constante, digamos \rho(x,y)=\lambda, então \lambda sai da integral e sobra só integrar y^2\,d s ou x^2\,d s.
  • Usar simetrias: se a curva e \rho têm simetria, muitas integrais se simplificam. Exemplos:
    • Se a curva é simétrica em relação ao eixo y (para cada (x,y) existe (-x,y) com mesma \rho), então I_y pode ser calculado dobrando a integral sobre metade da curva.
    • Atenção: integrando y^2 (ou x^2) não ocorre cancelamento de sinais por reflexão, pois y^2 é sempre não-negativo — as simetrias ajudam a reduzir intervalo de integração, não a zerar o valor (exceto quando y\equiv0 ou x\equiv0 na curva).
  • Relacione massa total M do arame com \rho: se \rho=\lambda constante, a massa M=\lambda\cdot\text{(comprimento total de }C). Às vezes dá para expressar I_x em termos de M e um comprimento/raio característico, o que é prático nas respostas.

Passo 4

Exemplo concreto 1 (círculo de raio R centrado na origem, densidade linear constante \rho=\lambda) — resolução passo a passo modelar para prova.
  • Parametrização natural: \displaystyle x(t)=R\cos t,\quad y(t)=R\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
  • Derivadas: \displaystyle x'(t)=-R\sin t,\quad y'(t)=R\cos t.
  • Cálculo de d s:
d s=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}\, dt=\sqrt{R^{2}\sin^{2}t+R^{2}\cos^{2}t}\, dt=R\, dt.
  • Substituir em I_x:
I_x=\int_{0}^{2\pi} \bigl(y(t)\bigr)^2\,\lambda\, d s =\int_{0}^{2\pi} (R\sin t)^2\,\lambda\,(R\,dt) =\lambda R^{3}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\, dt.
  • Calcular a integral trigonométrica: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\, dt=\pi (porque \sin^2 t=(1-\cos 2t)/2 e o termo em \cos 2t integra zero em um período).
  • Logo \displaystyle I_x=\lambda R^{3}\pi.
  • Mesma conta para I_y pela simetria (trocar \sin^2 por \cos^2 dá mesmo resultado):
I_y=\lambda R^{3}\pi.
  • Escrever em função da massa total M. O comprimento do círculo é 2\pi R, então M=\lambda\cdot 2\pi R. Assim \lambda=\dfrac{M}{2\pi R} e
I_x=I_y=\lambda R^{3}\pi=\frac{M}{2\pi R}\cdot R^{3}\pi=\frac{1}{2}M R^{2}.
Resumo do exemplo: para um anel fino (arame) uniforme de raio R, \displaystyle I_x=I_y=\frac{1}{2}M R^{2}.

Passo 5

Exemplo concreto 2 (barra reta uniformemente densa ao longo do eixo x de -\tfrac{L}{2} a \tfrac{L}{2}) — passo a passo.
  • Parametrização: x(t)=t,\; y(t)=0,\; t\in\bigl[-\tfrac{L}{2},\tfrac{L}{2}\bigr].
  • Aqui d s=|dt|=dt (orientação positiva).
  • Para I_x:
I_x=\int_{-L/2}^{L/2} y^{2}\rho\, d s= \int_{-L/2}^{L/2} 0^{2}\,\lambda\, dt=0.
  • Para I_y:
I_y=\int_{-L/2}^{L/2} x^{2}\lambda\, d t=\lambda\int_{-L/2}^{L/2} t^{2}\, dt =\lambda\cdot\frac{L^{3}}{12}.
  • Em termos da massa M=\lambda L, tem-se \displaystyle I_y=\frac{M L^{2}}{12}.
    Isto é um resultado padrão: momento de inércia de uma barra fina (sobre o eixo perpendicular passando pelo centro) é M L^{2}/12.

Passo 6

Outros pontos práticos e pequenos lembretes para a hora da prova (o que costuma cair e o que facilita):
  • Sempre verificar se a parametrização cobre a curva uma única vez; se cobre múltiplas vezes, ajustar os limites.
  • Se \rho depende de x ou y, substitua explicitamente \rho\bigl(x(t),y(t)\bigr) antes de integrar; às vezes a dependência simplifica com trigonometria.
  • Use identidades trigonométricas para integrar funções quadráticas de seno/cosseno (por ex. \sin^{2}t=(1-\cos 2t)/2).
  • Para curvas compostas por segmentos, compute as integrais segmento a segmento e some (linearidade da integral de linha).
  • Recorde mental rápido: para anel fino uniforme \;I=\tfrac{1}{2}MR^{2}; para barra fina (eixo pelo centro, perpendicular) \;I=\tfrac{1}{12}ML^{2}. Esses aparecem muito em provas.

Passo 7

Conclusão prática sobre o enunciado recebido:
  • Com as fórmulas dadas, o procedimento está claro: parametrizar C, calcular d s, substituir \rho(x,y) e integrar conforme mostrado nos exemplos.
  • No entanto, não é possível dar um valor numérico ou uma expressão específica para I_x e I_y sem que sejam fornecidos explicitamente a curva C (ou sua parametrização) e a densidade \rho(x,y). Por isso não foi possível calcular valores finais a partir do texto enviado.

Resposta

Não é possível calcular I_x e I_y porque o enunciado não fornece a curva C nem a densidade \rho(x,y).

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