Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(3 x^{2}-5 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(3x^{2}-5x+1\right).
Informações dadas:
  • A função cuja limite se quer é f(x)=3x^{2}-5x+1.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite, justificando cada passagem pelas propriedades dos limites.

Passo 2

Vou listar as propriedades dos limites que vou usar (com explicação simples de quando valem):
  • Regra da soma: se \lim_{x\to a} g(x)=G e \lim_{x\to a} h(x)=H existem, então
\lim_{x\to a}\big(g(x)+h(x)\big)=G+H.
  • Regra do múltiplo constante: se \lim_{x\to a} g(x)=G então, para constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot g(x)=c\cdot G.
  • Regra da potência inteira positiva: se \lim_{x\to a} g(x)=G então, para n\in\mathbb{N},
\lim_{x\to a} \big(g(x)\big)^{n}=G^{n}.
  • Limite da função identidade: \lim_{x\to a} x = a.
  • Limite de constante: se c é constante, \lim_{x\to a} c = c.
Todas essas propriedades exigem que os limites intermediários existam (no nosso caso eles existirão: são limites simples).

Passo 3

Aplicando a regra da soma (e da diferença) para separar os termos:
\lim_{x\to 1}\left(3x^{2}-5x+1\right) = \lim_{x\to 1}\big(3x^{2}\big)\;-\;\lim_{x\to 1}\big(5x\big)\;+\;\lim_{x\to 1}1.
Aqui usei que o limite de uma soma (ou soma com sinais) é a soma dos limites, supondo que cada limite exista.

Passo 4

Aplicando a regra do múltiplo constante a cada termo que tem constante multiplicando:
\lim_{x\to 1}\big(3x^{2}\big)=3\cdot\lim_{x\to 1}x^{2}, \qquad \lim_{x\to 1}\big(5x\big)=5\cdot\lim_{x\to 1}x, \qquad \lim_{x\to 1}1=1.

Passo 5

Agora uso a regra da potência e da identidade:
  • Pela identidade, \lim_{x\to 1}x=1.
  • Pela regra da potência, \lim_{x\to 1}x^{2}=\big(\lim_{x\to 1}x\big)^{2}=1^{2}=1.
Substituindo nas expressões do passo anterior:
\lim_{x\to 1}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 1=3, \qquad \lim_{x\to 1}\big(5x\big)=5\cdot 1=5, \qquad \lim_{x\to 1}1=1.

Passo 6

Reunindo tudo:
\lim_{x\to 1}\left(3x^{2}-5x+1\right)=3-5+1.
Fazendo a conta:
3-5+1= -1.

Passo 7

Comentário final pequeno para fixar a ideia: a sequência de propriedades usadas mostra que se um limite simples de x existe (aqui é 1), então aplicando linearidade e potência pode-se avaliar polinômios por substituição direta. Em termos práticos: polinômios são “bem comportados” e o limite em x\to a é simplesmente o valor do polinômio em a.

Resposta

-1

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