Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do limite
Informações dadas:
- A função cuja limite se quer é
. - O ponto de aproximação é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite, justificando cada passagem pelas propriedades dos limites.
Passo 2
Vou listar as propriedades dos limites que vou usar (com explicação simples de quando valem):
- Regra da soma: se
e existem, então
- Regra do múltiplo constante: se
então, para constante ,
- Regra da potência inteira positiva: se
então, para ,
- Limite da função identidade:
. - Limite de constante: se
é constante, .
Todas essas propriedades exigem que os limites intermediários existam (no nosso caso eles existirão: são limites simples).
Passo 3
Aplicando a regra da soma (e da diferença) para separar os termos:
Aqui usei que o limite de uma soma (ou soma com sinais) é a soma dos limites, supondo que cada limite exista.
Passo 4
Aplicando a regra do múltiplo constante a cada termo que tem constante multiplicando:
Passo 5
Agora uso a regra da potência e da identidade:
- Pela identidade,
. - Pela regra da potência,
.
Substituindo nas expressões do passo anterior:
Passo 6
Reunindo tudo:
Fazendo a conta:
Passo 7
Comentário final pequeno para fixar a ideia: a sequência de propriedades usadas mostra que se um limite simples de
existe (aqui é
), então aplicando linearidade e potência pode-se avaliar polinômios por substituição direta. Em termos práticos: polinômios são “bem comportados” e o limite em
é simplesmente o valor do polinômio em
.