Usando a regra da cadeia e a derivada de funçōes trigonométricas inversas, calcule a primeíra derivada de:
f(x)=\cos \left(x^{2}\right) \cdot \operatorname{Arcsen}\left(3^{x \cos (x)}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,\Arcsen\!\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr).
O que vamos usar: a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada de \Arcsen(u).

Passo 2

Separemos a função em duas partes
u(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr), \quad v(x)=\Arcsen\!\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivada de u(x)=\cos(x^2): aplica-se a regra da cadeia, pois é \cos\bigl(\,\cdot\,\bigr) composta com x^2.
u'(x) =-\sin\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Para v(x)=\Arcsen\!\bigl(w(x)\bigr) com w(x)=3^{\,x\cos(x)}, usamos
\frac{d}{dx}\Arcsen(w) =\frac{1}{\sqrt{1-w^{2}}}\,w'.
Primeiro w'(x): como w=3^{\,x\cos(x)},
w'(x) =3^{\,x\cos(x)}\ln(3)\,\frac{d}{dx}\bigl(x\cos(x)\bigr) =3^{\,x\cos(x)}\ln(3)\,\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr).
Logo,
v'(x) =\frac{3^{\,x\cos(x)}\ln(3)\,\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)} {\sqrt{1-\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr)^{2}}}.

Passo 5

Substituindo u', v e v' em f'(x)=u'v+u\,v', obtemos
f'(x) =-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\;\Arcsen\!\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr) +\cos\bigl(x^{2}\bigr)\; \frac{3^{\,x\cos(x)}\ln(3)\,\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)} {\sqrt{1-\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr)^{2}}}.

Resposta

f'(x) =-2x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,\Arcsen\!\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr) +\frac{\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,3^{\,x\cos(x)}\ln(3)\,\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)} {\sqrt{1-\bigl(3^{\,x\cos(x)}\bigr)^{2}}}.

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