Seja
y=f(x)=2 xx^2+1
Qual afirmação é verdadeira?
(1) y=f(x) é crescente em (-raiz2, 0),
(2) y=f(x) é decrescente em (-infty, 0),
(3) y=f(x) é crescente em (raiz2, 2),
(4) y=f(x) é decrescente em (1, raiz2).

Passo 1

O enunciado dá a função y=f(x)=2xx^2+1 e pede para identificar em qual das afirmações sobre crescimento ou decrescimento de f uma delas é verdadeira. Vamos derivar f e analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, temos
f'(x) =2(x^2+1)-2xcdot2x(x^2+1)^2 =2x^2+2-4x^2(x^2+1)^2 =2(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 3

Como o denominador (x^2+1)^2 é sempre positivo, o sinal de f'(x) é o mesmo de 1-x^2. Logo, se -1<x<1 então 1-x^2>0 e f'(x)>0, o que faz f crescente nesse intervalo. Se |x|>1 então 1-x^2<0 e f'(x)<0, o que faz f decrescente para x<-1 e para x>1.

Passo 4

Para a afirmação (1), o intervalo (-raiz2,0) inclui pontos com x<-1 (onde f'(x)<0) e com -1<x<0 (onde f'(x)>0), logo não é monotônico ali.
Para a (2), em (-infty,0) há decrescimento quando x<-1 e crescimento quando -1<x<0, portanto é falsa.
Para a (3), em (raiz2,2) temos x>1 e f'(x)<0, então f é decrescente, não crescente.
Para a (4), em (1,raiz2) vale x>1 e f'(x)<0, logo f é de fato decrescente nesse intervalo, tornando essa afirmação a única verdadeira.

Resposta

(4)

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