Seja
Qual afirmação é verdadeira?
(1)
é crescente em
,
(2)
é decrescente em
,
(3)
é crescente em
,
(4)
é decrescente em
.
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para identificar em qual das afirmações sobre crescimento ou decrescimento de
uma delas é verdadeira. Vamos derivar
e analisar o sinal de
.
Passo 2
Aplicando a regra do quociente, temos
Passo 3
Como o denominador
é sempre positivo, o sinal de
é o mesmo de
. Logo, se
então
e
, o que faz
crescente nesse intervalo. Se
então
e
, o que faz
decrescente para
e para
.
Passo 4
Para a afirmação (1), o intervalo
inclui pontos com
(onde
) e com
(onde
), logo não é monotônico ali.
Para a (2), em há decrescimento quando
e crescimento quando
, portanto é falsa.
Para a (3), em temos
e
, então
é decrescente, não crescente.
Para a (4), em vale
e
, logo
é de fato decrescente nesse intervalo, tornando essa afirmação a única verdadeira.
Para a (2), em
Para a (3), em
Para a (4), em
Resposta
(4)