Encontre a equação vetorial da reta tangente à superfície z=f(x, y)= -x^2+y, no ponto (1,2,(f(1,2)), cuja sua direção dada pela vetor v=(2,1).
Dica: Se o vetor diretor não for normalizado, então X=r(0)+t r^prime(0) não representa a reta tangente, onde r(t)=(1+2 t, 2+t, f(1+2 t, 2+t)). Veja que r^prime(t)=(2,1, partial fpartial v(1,2)) usando a regra da cadeia em f(1+2 t, 2+t).

Passo 1

O problema pede a reta tangente à superfície z = f(x,y) = –x² + y no ponto (1,2,f(1,2)), seguindo a direção dada pelo vetor v = (2,1). Vamos usar derivada direcional e gradiente para achar o componente em z do vetor diretor 3D.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor de z no ponto (1,2):
f(1,2) = -1^2 + 2 = -1 + 2 = 1
Portanto o ponto de tangência é (1,2,1).

Passo 3

Agora, encontramos o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr) = (-2x, ;1)
Em (1,2) temos nabla f(1,2) = (-2,1).

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada direcional de f ao longo de v = (2,1), usando Dv f = nabla f cdot v:
Dv f(1,2) = (-2,1) cdot (2,1) = -4 + 1 = -3
Esse valor é o componente em z do vetor diretor 3D.

Passo 5

O vetor diretor da reta tangente em 3D é então
(2,1,,-3)
Juntando com o ponto (1,2,1), a equação vetorial fica:

Passo 6

final_answer

Passo 7

r(t) = (1,2,1) + t,(2,1,-3)

Resposta

r(t) = (1,2,1) + t,(2,1,-3)

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