Encontre a equação vetorial da reta tangente à superfície
, no ponto
, cuja sua direção dada pela vetor
.
Dica: Se o vetor diretor não for normalizado, então
não representa a reta tangente, onde
. Veja que
usando a regra da cadeia em
.
Dica: Se o vetor diretor não for normalizado, então
Passo 1
O problema pede a reta tangente à superfície z = f(x,y) = –x² + y no ponto (1,2,f(1,2)), seguindo a direção dada pelo vetor v = (2,1). Vamos usar derivada direcional e gradiente para achar o componente em z do vetor diretor 3D.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor de z no ponto (1,2):
Portanto o ponto de tangência é (1,2,1).
Passo 3
Agora, encontramos o gradiente de f:
Em (1,2) temos
.
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada direcional de f ao longo de v = (2,1), usando
:
Esse valor é o componente em z do vetor diretor 3D.
Passo 5
O vetor diretor da reta tangente em 3D é então
Juntando com o ponto (1,2,1), a equação vetorial fica:
Passo 6
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