Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{\operatorname{sen}(10 x)}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{\sin(10x)}.
O conteúdo é limites de funções trigonométricas e vamos usar o resultado fundamental \lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a aplicar o limite fundamental:
\frac{\sin(x)}{\sin(10x)} = \frac{\sin(x)/x}{\sin(10x)/(10x)}\;\cdot\;\frac{x}{10x}.

Passo 3

À medida que x\to0, vale \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1, \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin(10x)}{10x}=1
e \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x}{10x}=\frac{1}{10}.

Passo 4

Pelo teorema do produto de limites, temos
\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{\sin(10x)} =1\cdot1\cdot\frac{1}{10} =\frac{1}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}

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