Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x}}{e^{x}-5}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{2e^{x}}{e^{x}-5}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função racional em que aparecem potências exponenciais. Para resolver, vamos usar o fato de que, quando x\to\infty, e^{x} cresce muito e dominará constantes, e em seguida fatorar e^{x} para simplificar a expressão.

Passo 2

Observamos que, à medida que x\to\infty,
e^{x}\to\infty
e portanto o termo constante -5 no denominador torna-se desprezível em comparação com e^{x}.

Passo 3

Para ver isso de forma rigorosa, fatoramos e^{x} no denominador:
\frac{2e^{x}}{e^{x}-5} = \frac{2e^{x}}{e^{x}\bigl(1 - 5e^{-x}\bigr)} = \frac{2}{1 - 5e^{-x}}.

Passo 4

Como x\to\infty, temos e^{-x}\to 0. Logo,
\frac{2}{1 - 5e^{-x}}\;\longrightarrow\;\frac{2}{1-5\cdot 0} \;=\;2.

Resposta

2

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