Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x}.
Este é um limite envolvendo radicais que, ao substituir x=0 diretamente, gera a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar a técnica de racionalização do numerador para resolver.

Passo 2

Confirmando a indeterminação: ao fazer x=0 no numerador, obtemos \sqrt{5+0}-\sqrt{5-0}= \sqrt{5}-\sqrt{5}=0
e o denominador é 0, então temos 0/0.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pelo seu conjugado \sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}:
\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}}{x} = \frac{(\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x})(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})}{x\;(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})} = \frac{(5+x)-(5-x)}{x\;(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})} = \frac{2x}{x\;(\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x})} = \frac{2}{\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite de x\to0 na expressão simplificada:
\lim_{x\to0}\frac{2}{\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}} = \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{5}}.

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