(1.0) Dada a função f(x, y)=\frac{1}{2} \ln \left(x^{4}+y^{4}\right)+\cos \left(3 x^{2} y-2 x y^{2}\right), calcule \frac{\partial f}{\partial y}(x, y).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de primeira ordem em relação a y de
f(x,y) = \tfrac12 \ln(x^4+y^4) + \cos\bigl(3x^2y -2x y^2\bigr).
O conteúdo principal aqui é derivada parcial e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos o primeiro termo
\tfrac12 \ln(x^4+y^4)
em relação a y. Aplicando
\frac{\partial}{\partial y}\ln(U) = \frac{1}{U}\,\frac{\partial U}{\partial y},
com U = x^4+y^4 e \partial U/\partial y = 4y^3, temos
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac12 \ln(x^4+y^4)\Bigr) = \tfrac12 \cdot \frac{4y^3}{x^4+y^4} = \frac{2y^3}{x^4+y^4}.

Passo 3

Derivamos o segundo termo
\cos\bigl(3x^2y -2x y^2\bigr)
em relação a y. Pela regra
\frac{d}{dy}\cos(V) = -\sin(V)\,\frac{dV}{dy},
onde V=3x^2y -2xy^2. Calculamos
\frac{\partial V}{\partial y} = 3x^2 -4xy.
Logo,
\frac{\partial}{\partial y}\cos\bigl(3x^2y -2xy^2\bigr) = -\bigl(3x^2 -4xy\bigr)\,\sin\bigl(3x^2y -2xy^2\bigr).

Passo 4

Somando os dois resultados, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{2y^3}{x^4+y^4} - \bigl(3x^2 -4xy\bigr)\,\sin\bigl(3x^2y -2xy^2\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{2y^3}{x^4+y^4} - \bigl(3x^2 -4xy\bigr)\,\sin\bigl(3x^2y -2xy^2\bigr).

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