Calcule o limite:
\lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \left(\frac{2}{n}\right)
◯ a. 2
◯ b. 1 / 2
◯ c. 1
◯ d. O limite não existe
◯ e. 3,45

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to\infty} n \sin\!\left(\frac{2}{n}\right).
Informações dadas importantes:
  • A variável n tende para +\infty.
  • O argumento do seno é \dfrac{2}{n}, que tende a 0 quando n\to\infty.
  • O enunciado apresenta alternativas; vou encontrar o valor do limite e indicar qual alternativa corresponde.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado fundamental sobre o seno que vamos usar e explicá-lo com calma: a propriedade
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Por que isso é verdade (explicação didática e sem pular etapas)? Para x pequeno e positivo (por exemplo 0<x<\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica clássica
\sin x < x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Dividindo toda a desigualdade por \sin x>0 obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Tomando recíprocos (o que inverte as desigualdades) dá
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, quando x\to 0 sabemos que \cos x \to 1. Pela desigualdade anterior, \dfrac{\sin x}{x} fica “espremido” entre \cos x e 1, ambos tendendo a 1. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso é suficiente para nosso problema porque o argumento do seno tende a zero.

Passo 3

Fazer uma substituição simples facilita a aplicação do resultado. Defina
x=\frac{2}{n}.
Quando n\to\infty temos x\to 0^+. Reescrevendo a expressão do limite em termos de x:
n\sin\!\left(\frac{2}{n}\right)=n\sin(x).
Como x=\dfrac{2}{n}, segue n=\dfrac{2}{x}. Substituindo:
n\sin(x)=\frac{2}{x}\sin(x)=2\cdot\frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty, que corresponde a x\to 0. Usando o resultado do Passo 2:
\lim_{n\to\infty} n\sin\!\left(\frac{2}{n}\right)=\lim_{x\to 0} 2\cdot\frac{\sin x}{x}=2\cdot 1=2.

Passo 5

Comentário curto e encorajador: uma maneira rápida de ver isso na hora da prova é usar a aproximação para ângulos pequenos \sin t\approx t. Então \,n\sin(2/n)\approx n\cdot(2/n)=2. Mas a demonstração acima mostra isso com rigor via o limite \sin x/x\to1.

Resposta

a. 2

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