Calcule o limite:
◯ a. 2
◯ b.
◯ c. 1
◯ d. O limite não existe
◯ e. 3,45
◯ b.
◯ c. 1
◯ d. O limite não existe
◯ e. 3,45
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas importantes:
- A variável
tende para . - O argumento do seno é
, que tende a quando . - O enunciado apresenta alternativas; vou encontrar o valor do limite e indicar qual alternativa corresponde.
Passo 2
Vamos lembrar um resultado fundamental sobre o seno que vamos usar e explicá-lo com calma: a propriedade
Por que isso é verdade (explicação didática e sem pular etapas)? Para
pequeno e positivo (por exemplo
) vale a desigualdade geométrica clássica
Dividindo toda a desigualdade por
obtemos
Tomando recíprocos (o que inverte as desigualdades) dá
Agora, quando
sabemos que
. Pela desigualdade anterior,
fica “espremido” entre
e
, ambos tendendo a
. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que
Isso é suficiente para nosso problema porque o argumento do seno tende a zero.
Passo 3
Fazer uma substituição simples facilita a aplicação do resultado. Defina
Quando
temos
. Reescrevendo a expressão do limite em termos de
:
Como
, segue
. Substituindo:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
, que corresponde a
. Usando o resultado do Passo 2:
Passo 5
Comentário curto e encorajador: uma maneira rápida de ver isso na hora da prova é usar a aproximação para ângulos pequenos
. Então
. Mas a demonstração acima mostra isso com rigor via o limite
.
Resposta
a.