Decida se a série abaixo é convergente ou divergente:
(Pra justificar, sugiro usar critério da comparação)
Pense no seguinte: e se em vez de
aparecesse
no denominador?
◯ a. Converge
◯ b. Diverge
Pense no seguinte: e se em vez de
◯ a. Converge
◯ b. Diverge
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Você sugere usar o critério da comparação. Informação relevante dada:
- Os termos gerais são
para . - Precisa-se justificar a convergência ou divergência da série infinita.
Além disso, pede-se pensar no caso em que o denominador fosse
em vez de
.
Passo 2
Lembrete didático sobre o critério da comparação (versão direta) — explicando como usar na prova:
- Se
para todo a partir de algum índice e converge, então também converge. - Se
para todo a partir de algum índice e diverge, então também diverge.
Outra ferramenta útil é a série-p (p-series):
- A série
converge se, e somente se, . - No caso que nos interessa, a série
é uma série-p com , portanto ela converge.
(Se quiser um lembrete rápido do porquê da série-p convergir para
: usa-se o teste da integral ou comparação com uma integral impropria; não precisa decorar a prova inteira agora, basta saber que
converge.)
Passo 3
Vamos comparar diretamente os termos. Para todo
vale
logo, dividindo (números positivos),
Aqui peguei a desigualdade
que é óbvia para
.
Passo 4
Agora aplico o critério da comparação direta:
- Sabemos que
converge (é uma série-p com ). - Como para todo
temos , pela comparação direta a série
também converge.
Explicando em palavras (como você faria na prova): mostre que cada termo da série original é menor ou igual ao termo de uma série convergente conhecida (
). Assim, a original converge por comparação.
Passo 5
Vou reforçar com o teste da comparação limite (opcional, útil para intuir comportamento): calcule
Como o limite é um número positivo finito (diferente de zero), pelas regras do teste da comparação por limite a série
tem o mesmo comportamento (convergência) que
. Isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 6
Agora a pergunta extra: e se o denominador fosse
?
- Primeira observação importante: para
temos , o que torna o termo indefinido. Portanto, se a soma permanecer indexada desde até , a série não é nem bem definida (há um termo com divisão por zero) — nesse sentido a expressão original com é inválida e não constitui uma série numérica usual. - Se, entretanto, reformularmos a série começando em
, ou seja considerarmos
então para
os termos são positivos e podemos aplicar o teste por limite. Faço a mesma razão:
Como o limite é
, pela comparação por limite a série a partir de
tem o mesmo comportamento que
, ou seja, converge. Assim:
- Com índice iniciando em
a série com falha (termo dá divisão por zero). - Com índice iniciando em
a série converge (pela comparação limite com ).