Decida se a série abaixo é convergente ou divergente:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+4}
(Pra justificar, sugiro usar critério da comparação)
Pense no seguinte: e se em vez de \mathrm{k}^{2}+4 aparecesse \mathrm{k}^{2}-4 no denominador?
◯ a. Converge
◯ b. Diverge

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+4}
é convergente ou divergente. Você sugere usar o critério da comparação. Informação relevante dada:
  • Os termos gerais são \dfrac{1}{k^{2}+4} para k=1,2,3,\ldots.
  • Precisa-se justificar a convergência ou divergência da série infinita.
Além disso, pede-se pensar no caso em que o denominador fosse \,k^{2}-4\, em vez de \,k^{2}+4.

Passo 2

Lembrete didático sobre o critério da comparação (versão direta) — explicando como usar na prova:
  • Se 0 \le a_{k} \le b_{k} para todo k a partir de algum índice e \sum b_{k} converge, então \sum a_{k} também converge.
  • Se 0 \le b_{k} \le a_{k} para todo k a partir de algum índice e \sum b_{k} diverge, então \sum a_{k} também diverge.
Outra ferramenta útil é a série-p (p-series):
  • A série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{p}} converge se, e somente se, p>1.
  • No caso que nos interessa, a série \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}} é uma série-p com p=2, portanto ela converge.
(Se quiser um lembrete rápido do porquê da série-p convergir para p>1: usa-se o teste da integral ou comparação com uma integral impropria; não precisa decorar a prova inteira agora, basta saber que \sum 1/k^{2} converge.)

Passo 3

Vamos comparar diretamente os termos. Para todo k\ge 1 vale
k^{2}+4 \ge k^{2},
logo, dividindo (números positivos),
0<\frac{1}{k^{2}+4} \le \frac{1}{k^{2}}.
Aqui peguei a desigualdade \,k^{2}+4 \ge k^{2}\, que é óbvia para k\ge1.

Passo 4

Agora aplico o critério da comparação direta:
  • Sabemos que \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} converge (é uma série-p com p=2>1).
  • Como para todo k temos 0<\dfrac{1}{k^{2}+4}\le\dfrac{1}{k^{2}}, pela comparação direta a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+4}
também converge.
Explicando em palavras (como você faria na prova): mostre que cada termo da série original é menor ou igual ao termo de uma série convergente conhecida ( \sum 1/k^{2}). Assim, a original converge por comparação.

Passo 5

Vou reforçar com o teste da comparação limite (opcional, útil para intuir comportamento): calcule
\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{1}{k^{2}+4}}{\frac{1}{k^{2}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}}{k^{2}+4}=1.
Como o limite é um número positivo finito (diferente de zero), pelas regras do teste da comparação por limite a série \sum \dfrac{1}{k^{2}+4} tem o mesmo comportamento (convergência) que \sum \dfrac{1}{k^{2}}. Isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Agora a pergunta extra: e se o denominador fosse \,k^{2}-4\, ?
  • Primeira observação importante: para k=2 temos k^{2}-4=0, o que torna o termo \dfrac{1}{k^{2}-4} indefinido. Portanto, se a soma permanecer indexada desde k=1 até \infty, a série não é nem bem definida (há um termo com divisão por zero) — nesse sentido a expressão original com \,k^{2}-4 é inválida e não constitui uma série numérica usual.
  • Se, entretanto, reformularmos a série começando em k=3, ou seja considerarmos
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k^{2}-4},
então para k\ge 3 os termos são positivos e podemos aplicar o teste por limite. Faço a mesma razão:
\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{1}{k^{2}-4}}{\frac{1}{k^{2}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{2}}{k^{2}-4}=1.
Como o limite é 1\in(0,\infty), pela comparação por limite a série a partir de k=3 tem o mesmo comportamento que \sum 1/k^{2}, ou seja, converge. Assim:
  • Com índice iniciando em k=1 a série com k^{2}-4 falha (termo k=2 dá divisão por zero).
  • Com índice iniciando em k=3 a série \sum_{k=3}^{\infty} 1/(k^{2}-4) converge (pela comparação limite com 1/k^{2}).

Resposta

(a)\\ \text{Converge}

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