Calcule, caso exista, o limite da sequência abaixo:
a_{n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}
e pede para calcular, caso exista, o seu limite quando n\to\infty.
Informações dadas:
  • A sequência é formada por termos a_{n} dependentes de n.
  • Cada termo é \left(1+\dfrac{3}{n}\right)^{n}.
  • Quer-se \lim_{n\to\infty} a_{n}, se existir.

Passo 2

Transformar a sequência usando o logaritmo natural para facilitar o cálculo do limite. Defino
b_{n}=\ln\left(a_{n}\right).
Como \ln é a função inversa de e^{x} e é estritamente crescente, existe correspondência entre limite de a_{n} e limite de b_{n}: se \lim_{n\to\infty} b_{n}=L existe finito, então
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} e^{b_{n}}=e^{L},
porque a função exponencial e^{x} é contínua. Agora computo b_{n}:
b_{n}=\ln\left(\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right).
(Usei a propriedade dos logaritmos \ln(x^{n})=n\ln x.)

Passo 3

Reescrevo b_{n} de forma que apareça uma razão cujo limite conheço:
b_{n}=n\ln\!\left(1+\frac{3}{n}\right) =3\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}{\dfrac{3}{n}}.
Aqui fiz uma fatoração: multipliquei e dividi por 3. Note que \dfrac{3}{n}\to 0 quando n\to\infty. Portanto preciso do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Calculo \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}. Isso é uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}, então aplico o L’Hospital (ou noto a expansão \ln(1+x)=x+o(x)):
Usando L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{d}{dx}\ln(1+x)}{\dfrac{d}{dx}x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}{\dfrac{3}{n}}=1.

Passo 5

Voltando a b_{n}:
\lim_{n\to\infty} b_{n} =\lim_{n\to\infty} 3\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}{\dfrac{3}{n}} =3\cdot 1=3.
Como b_{n}=\ln(a_{n}) e e^{x} é contínua, segue que
\lim_{n\to\infty} a_{n}= \lim_{n\to\infty} e^{b_{n}} = e^{\,\lim_{n\to\infty} b_{n}} = e^{3}.
Para ter uma ideia numérica, e^{3}\approx 20,085.

Resposta

e^{3}

Exercícios relacionados