Calcule, caso exista, o limite da sequência abaixo:
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para calcular, caso exista, o seu limite quando
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é formada por termos
dependentes de . - Cada termo é
. - Quer-se
, se existir.
Passo 2
Transformar a sequência usando o logaritmo natural para facilitar o cálculo do limite. Defino
Como
é a função inversa de
e é estritamente crescente, existe correspondência entre limite de
e limite de
: se
existe finito, então
porque a função exponencial
é contínua. Agora computo
:
(Usei a propriedade dos logaritmos
.)
Passo 3
Reescrevo
de forma que apareça uma razão cujo limite conheço:
Aqui fiz uma fatoração: multipliquei e dividi por
. Note que
quando
. Portanto preciso do limite
Passo 4
Calculo
. Isso é uma forma indeterminada
, então aplico o L’Hospital (ou noto a expansão
):
Usando L’Hospital:
Portanto
Passo 5
Voltando a
:
Como
e
é contínua, segue que
Para ter uma ideia numérica,
.