(Montgomery e Runger adaptado) Dois novos projetos de produto devem ser comparados, baseando-se no potencial de retorno. O setor de marketing sente que o retorno do Projeto A pode ser previsto bem acuradamente como 3 milhões de dólares. O setor de marketing não tem tanta certeza do potencial retorno dos Projetos
mas conseguiram inferir as probabilidades de que cada um dos projetos apresentem certo retorno.
Em aula, vimos que o Projeto B, que retorna 7 milhões de dólares com probabilidade 0,3 e 2 milhões de dólares com probabilidade 0,7 não é interessante com base no valor esperado e desvio padrão. Verifique qual dos projetos a seguir seria o mais recomendável quando comparado ao Projeto A, que tem um potencial de retorno 3 milhões praticamente garantido, justifique.
- Projeto C: Retorna 2 milhões de dólares com probabilidade 0,7 e 10 milhões de dólares com probabilidade 0,3.
- Projeto D: Retorna 3 milhões de dólares com probabilidade
milhões de dólares com probabilidade 0,19 e 7 milhões de dólares com probabilidade 0,01 .
- Projeto E: Retorna 2 milhões de dólares com probabilidade
milhões de dólares com probabilidade 0,19 e 6 milhões de dólares com probabilidade 0,01 .
Passo 1
O enunciado pede que eu compare os Projetos
,
e
com o Projeto
(que retorna praticamente garantido
milhões de dólares) e verifique qual dos projetos listados seria o mais recomendável, justificando a escolha. Dados fornecidos:
- Projeto
: retorno praticamente garantido de milhões de dólares (logo e variância ). - Projeto
: (já visto em aula) retorna milhões com probabilidade e milhões com probabilidade . (Usado aqui como referência). - Projeto
: retorna milhões com probabilidade e milhões com probabilidade . - Projeto
: retorna milhões com probabilidade , milhões com probabilidade e milhões com probabilidade . - Projeto
: retorna milhões com probabilidade , milhões com probabilidade e milhões com probabilidade .
O objetivo é indicar qual projeto é mais recomendável frente ao
e justificar. Vou usar as informações de probabilidade acima para calcular esperança (
), variância (
) e desvio padrão (
), e então comparar risco e retorno.
Passo 2
Por que usar esperança e desvio padrão? Vou explicar as fórmulas e o raciocínio de forma bem didática.
- A esperança
é o valor médio do retorno esperado. Para uma variável aleatória discreta que toma valores com probabilidades ,
Aqui
= retorno (em milhões).
- A variância mede a dispersão dos retornos em torno da média. Fórmula prática:
onde
O desvio padrão é
Interpretação prática: um projeto com esperança maior que
milhões tem prêmio de risco positivo em relação ao projeto
. Mas esse prêmio vem acompanhado de risco (desvio padrão). Para comparar risco-retorno, uma medida simples e útil é o prêmio de risco por unidade de risco:
que diz quanto de retorno extra (acima de
) se obtém por cada unidade de volatilidade. Projetos com índice maior são, em termos de troca retorno a risco, mais atraentes para um investidor avesso ao risco. Se
, o projeto é claramente pior que
(paga menos, mesmo sem olhar o risco).
Vou calcular
,
,
,
e o índice acima para
(incluir
porque já foi citado em aula) e comparar com
.
Passo 3
Cálculo para o Projeto
.
- Como o retorno é praticamente garantido
milhões,
Passo 4
Cálculo para o Projeto
(revisão, já visto em aula).
Valores:
com
;
com
.
- Esperança:
- Esperança do quadrado:
- Variância:
- Desvio padrão:
- Prêmio de risco absoluto:
. - Índice prêmio por risco:
Comentário:
tem esperança maior que
(
) mas também tem volatilidade relativamente alta (
), o que reduz a atratividade para um investidor avesso ao risco.
Passo 5
Cálculo para o Projeto
.
Valores:
com
;
com
.
- Esperança:
- Esperança do quadrado:
- Variância:
- Desvio padrão:
- Prêmio de risco absoluto:
. - Índice prêmio por risco:
Comentário:
tem a maior esperança (
) entre os projetos, mas também a maior volatilidade (
). O índice mostra uma relação retorno/risco intermediária.
Passo 6
Cálculo para o Projeto
.
Valores:
com
;
com
;
com
.
- Esperança:
- Esperança do quadrado:
- Variância:
- Desvio padrão:
- Prêmio de risco absoluto:
. - Índice prêmio por risco:
Comentário:
tem esperança ligeiramente maior que
(
), mas sua volatilidade é pequena (
). O índice é o maior entre os projetos considerados até agora, indicando boa troca retorno/risco.
Passo 7
Cálculo para o Projeto
.
Valores:
com
;
com
;
com
.
- Esperança:
- Como
, tem esperança menor que o retorno garantido do ; portanto é inferior a mesmo antes de olhar risco. (Mesmo assim, para completar:) - Esperança do quadrado:
- Variância:
- Desvio padrão:
- Prêmio de risco absoluto:
(negativo). - Índice (não faz sentido favorável):
.
Comentário:
paga menos em média que
; não é recomendável comparado ao
.
Passo 8
Resumo numérico (arredondado) dos resultados calculados:
-
: , . -
: , , índice . -
: , , índice . -
: , , índice . -
: , , índice negativa.
Interpretação:
-
é claramente pior que (esperança menor). -
tem maior esperança absoluta (melhor retorno médio), mas também muita volatilidade. -
tem esperança maior que mas índice baixo (pouco prêmio por risco). -
oferece um pequeno prêmio de retorno sobre ( milhões) com baixa volatilidade, resultando no MAIOR índice prêmio/risco ( ).
Passo 9
Conclusão e justificativa prática (tom amigo e direto):
- Se a pessoa for completamente neutra ao risco (ou só quer maximizar esperança), escolhe-se o Projeto
porque é o maior valor esperado. É a escolha “maximizar ganho médio”. - Se a pessoa é avessa ao risco (preferência típica na prática) e quer boa relação entre ganho adicional e volatilidade, o Projeto
é o mais recomendável: fornece um prêmio positivo em relação ao com baixa volatilidade, tendo o maior índice . Em outras palavras, por cada unidade de risco, paga mais adicionalmente do que ou . -
deve ser rejeitado porque tem esperança menor que o retorno praticamente certo do .
Como o enunciado compara com
(retorno praticamente garantido), a recomendação prático-robusta — especialmente para um decisor avesso ao risco — é escolher o Projeto
.
Força aí! Mesmo com pouco tempo dá para fazer esse tipo de análise: média, variância e comparar prêmio por unidade de risco é uma ferramenta simples e poderosa para decisões entre alternativas arriscadas.
Resposta
Projeto D