(Montgomery e Runger adaptado) Dois novos projetos de produto devem ser comparados, baseando-se no potencial de retorno. O setor de marketing sente que o retorno do Projeto A pode ser previsto bem acuradamente como 3 milhões de dólares. O setor de marketing não tem tanta certeza do potencial retorno dos Projetos \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{e} \mathrm{E} mas conseguiram inferir as probabilidades de que cada um dos projetos apresentem certo retorno.
Em aula, vimos que o Projeto B, que retorna 7 milhões de dólares com probabilidade 0,3 e 2 milhões de dólares com probabilidade 0,7 não é interessante com base no valor esperado e desvio padrão. Verifique qual dos projetos a seguir seria o mais recomendável quando comparado ao Projeto A, que tem um potencial de retorno 3 milhões praticamente garantido, justifique.
  • Projeto C: Retorna 2 milhões de dólares com probabilidade 0,7 e 10 milhões de dólares com probabilidade 0,3.
  • Projeto D: Retorna 3 milhões de dólares com probabilidade 0,8,5 milhões de dólares com probabilidade 0,19 e 7 milhões de dólares com probabilidade 0,01 .
  • Projeto E: Retorna 2 milhões de dólares com probabilidade 0,8,4 milhões de dólares com probabilidade 0,19 e 6 milhões de dólares com probabilidade 0,01 .

Passo 1

O enunciado pede que eu compare os Projetos C, D e E com o Projeto A (que retorna praticamente garantido 3 milhões de dólares) e verifique qual dos projetos listados seria o mais recomendável, justificando a escolha. Dados fornecidos:
  • Projeto A: retorno praticamente garantido de 3 milhões de dólares (logo E[X_A]=3 e variância 0).
  • Projeto B: (já visto em aula) retorna 7 milhões com probabilidade 0,3 e 2 milhões com probabilidade 0,7. (Usado aqui como referência).
  • Projeto C: retorna 2 milhões com probabilidade 0,7 e 10 milhões com probabilidade 0,3.
  • Projeto D: retorna 3 milhões com probabilidade 0,8, 5 milhões com probabilidade 0,19 e 7 milhões com probabilidade 0,01.
  • Projeto E: retorna 2 milhões com probabilidade 0,8, 4 milhões com probabilidade 0,19 e 6 milhões com probabilidade 0,01.
O objetivo é indicar qual projeto é mais recomendável frente ao A e justificar. Vou usar as informações de probabilidade acima para calcular esperança ( E[X]), variância ( \operatorname{Var}(X)) e desvio padrão ( \sigma), e então comparar risco e retorno.

Passo 2

Por que usar esperança e desvio padrão? Vou explicar as fórmulas e o raciocínio de forma bem didática.
  • A esperança E[X] é o valor médio do retorno esperado. Para uma variável aleatória discreta que toma valores x_i com probabilidades p_i,
E[X]=\sum_i p_i x_i.
Aqui X = retorno (em milhões).
  • A variância mede a dispersão dos retornos em torno da média. Fórmula prática:
\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2,
onde
E[X^2]=\sum_i p_i x_i^2.
O desvio padrão é
\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.
Interpretação prática: um projeto com esperança maior que 3 milhões tem prêmio de risco positivo em relação ao projeto A. Mas esse prêmio vem acompanhado de risco (desvio padrão). Para comparar risco-retorno, uma medida simples e útil é o prêmio de risco por unidade de risco:
\text{índice}=\frac{E[X]-3}{\sigma},í
que diz quanto de retorno extra (acima de 3) se obtém por cada unidade de volatilidade. Projetos com índice maior são, em termos de troca retorno a risco, mais atraentes para um investidor avesso ao risco. Se E[X]<3, o projeto é claramente pior que A (paga menos, mesmo sem olhar o risco).
Vou calcular E[X], E[X^2], \operatorname{Var}(X), \sigma e o índice acima para B,C,D,E (incluir B porque já foi citado em aula) e comparar com A.

Passo 3

Cálculo para o Projeto A.
  • Como o retorno é praticamente garantido 3 milhões,
E[X_A]=3,\qquad \operatorname{Var}(X_A)=0,\qquad \sigma_A=0.
A é o “ativo livre de risco” deste problema.

Passo 4

Cálculo para o Projeto B (revisão, já visto em aula).
Valores: x_1=7 com p_1=0,3; x_2=2 com p_2=0,7.
  • Esperança:
E[X_B]=0,3\cdot7+0,7\cdot2=2,1+1,4=3,5.
  • Esperança do quadrado:
E[X_B^2]=0,3\cdot7^2+0,7\cdot2^2=0,3\cdot49+0,7\cdot4=14,7+2,8=17,5.
  • Variância:
\operatorname{Var}(X_B)=17,5-(3,5)^2=17,5-12,25=5,25.
  • Desvio padrão:
\sigma_B=\sqrt{5,25}\approx2,291.
  • Prêmio de risco absoluto: E[X_B]-3=0,5.
  • Índice prêmio por risco:
\frac{E[X_B]-3}{\sigma_B}=\frac{0,5}{2,291}\approx0,218.
Comentário: B tem esperança maior que A ( 3,5>3) mas também tem volatilidade relativamente alta ( \sigma_B\approx2,29), o que reduz a atratividade para um investidor avesso ao risco.

Passo 5

Cálculo para o Projeto C.
Valores: x_1=2 com p_1=0,7; x_2=10 com p_2=0,3.
  • Esperança:
E[X_C]=0,7\cdot2+0,3\cdot10=1,4+3=4,4.
  • Esperança do quadrado:
E[X_C^2]=0,7\cdot2^2+0,3\cdot10^2=0,7\cdot4+0,3\cdot100=2,8+30=32,8.
  • Variância:
\operatorname{Var}(X_C)=32,8-(4,4)^2=32,8-19,36=13,44.
  • Desvio padrão:
\sigma_C=\sqrt{13,44}\approx3,666.
  • Prêmio de risco absoluto: E[X_C]-3=1,4.
  • Índice prêmio por risco:
\frac{E[X_C]-3}{\sigma_C}=\frac{1,4}{3,666}\approx0,382.
Comentário: C tem a maior esperança ( 4,4) entre os projetos, mas também a maior volatilidade ( \sigma_C\approx3,67). O índice mostra uma relação retorno/risco intermediária.

Passo 6

Cálculo para o Projeto D.
Valores: x_1=3 com p_1=0,8; x_2=5 com p_2=0,19; x_3=7 com p_3=0,01.
  • Esperança:
E[X_D]=0,8\cdot3+0,19\cdot5+0,01\cdot7=2,4+0,95+0,07=3,42.
  • Esperança do quadrado:
E[X_D^2]=0,8\cdot3^2+0,19\cdot5^2+0,01\cdot7^2=0,8\cdot9+0,19\cdot25+0,01\cdot49=7,2+4,75+0,49=12,44.
  • Variância:
\operatorname{Var}(X_D)=12,44-(3,42)^2=12,44-11,6964=0,7436.
  • Desvio padrão:
\sigma_D=\sqrt{0,7436}\approx0,862.
  • Prêmio de risco absoluto: E[X_D]-3=0,42.
  • Índice prêmio por risco:
\frac{E[X_D]-3}{\sigma_D}=\frac{0,42}{0,862}\approx0,487.
Comentário: D tem esperança ligeiramente maior que A ( 3,42), mas sua volatilidade é pequena ( \sigma_D\approx0,86). O índice é o maior entre os projetos considerados até agora, indicando boa troca retorno/risco.

Passo 7

Cálculo para o Projeto E.
Valores: x_1=2 com p_1=0,8; x_2=4 com p_2=0,19; x_3=6 com p_3=0,01.
  • Esperança:
E[X_E]=0,8\cdot2+0,19\cdot4+0,01\cdot6=1,6+0,76+0,06=2,42.
  • Como E[X_E]=2,42<3, E tem esperança menor que o retorno garantido do A; portanto E é inferior a A mesmo antes de olhar risco. (Mesmo assim, para completar:)
  • Esperança do quadrado:
E[X_E^2]=0,8\cdot2^2+0,19\cdot4^2+0,01\cdot6^2=0,8\cdot4+0,19\cdot16+0,01\cdot36=3,2+3,04+0,36=6,6.
  • Variância:
\operatorname{Var}(X_E)=6,6-(2,42)^2=6,6-5,8564=0,7436.
  • Desvio padrão:
\sigma_E=\sqrt{0,7436}\approx0,862.
  • Prêmio de risco absoluto: E[X_E]-3=-0,58 (negativo).
  • Índice (não faz sentido favorável): \dfrac{-0,58}{0,862}\approx-0,673.
Comentário: E paga menos em média que A; não é recomendável comparado ao A.

Passo 8

Resumo numérico (arredondado) dos resultados calculados:
  • A: E=3,00, \sigma=0,000.
  • B: E=3,50, \sigma\approx2,291, índice \approx0,218.
  • C: E=4,40, \sigma\approx3,666, índice \approx0,382.
  • D: E=3,42, \sigma\approx0,862, índice \approx0,487.
  • E: E=2,42, \sigma\approx0,862, índice negativa.
Interpretação:
  • E é claramente pior que A (esperança menor).
  • C tem maior esperança absoluta (melhor retorno médio), mas também muita volatilidade.
  • B tem esperança maior que A mas índice baixo (pouco prêmio por risco).
  • D oferece um pequeno prêmio de retorno sobre A ( 0,42 milhões) com baixa volatilidade, resultando no MAIOR índice prêmio/risco ( \approx0,487).

Passo 9

Conclusão e justificativa prática (tom amigo e direto):
  • Se a pessoa for completamente neutra ao risco (ou só quer maximizar esperança), escolhe-se o Projeto C porque E[X_C]=4,4 é o maior valor esperado. É a escolha “maximizar ganho médio”.
  • Se a pessoa é avessa ao risco (preferência típica na prática) e quer boa relação entre ganho adicional e volatilidade, o Projeto D é o mais recomendável: fornece um prêmio positivo em relação ao A com baixa volatilidade, tendo o maior índice \dfrac{E[X]-3}{\sigma}. Em outras palavras, por cada unidade de risco, D paga mais adicionalmente do que B ou C.
  • E deve ser rejeitado porque tem esperança menor que o retorno praticamente certo do A.
Como o enunciado compara com A (retorno praticamente garantido), a recomendação prático-robusta — especialmente para um decisor avesso ao risco — é escolher o Projeto D.
Força aí! Mesmo com pouco tempo dá para fazer esse tipo de análise: média, variância e comparar prêmio por unidade de risco é uma ferramenta simples e poderosa para decisões entre alternativas arriscadas.

Resposta

Projeto D

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