Calcule o limite:
lim substackx 0 y 0 raizy+4-raiz4y x^2+y

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, note que raiz4=2. Então o numerador fica raizy+4-2 e o denominador original é y x^2+y=y,(x^2+1).
Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizy+4+2:
raizy+4-2y,(x^2+1)cdotraizy+4+2raizy+4+2 =(raizy+4-2)(raizy+4+2)y,(x^2+1),(raizy+4+2)

Passo 3

O produto no numerador é (y+4)-4=y. Logo a expressão simplifica para
yy,(x^2+1),(raizy+4+2) =1(x^2+1),(raizy+4+2)

Passo 4

Agora basta tomar o limite xto0 e yto0. Temos x^2+1to1 e raizy+4+2to2+2=4. Portanto o limite é 1/(1cdot4)=1/4.

Resposta

1/4

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