Nos problemas
, resolva a equação.
Passo 1
Temos a equação diferencial
Esse é um problema de equação de primeira ordem e separável.
Passo 2
Vamos reescrever em termos de derivada para identificar a separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por ,dx e multiplicando por y obtemos
Isso mostra que as variáveis podem ser separadas (todas as y de um lado e x do outro).
Passo 3
Separamos as variáveis dividindo por y^2 e isolando os termos com x:
Aqui usamos que y não é zero para podermos dividir por y^2.
Passo 4
Agora integramos os dois lados:
No lado esquerdo,
No lado direito, fazemos a substituição u = \cos x, de onde du = -\sin x,dx, logo
Portanto,
onde C = -C_2 + C_1 é uma constante arbitrária.
Passo 5
Multiplicando por -1 e reorganizando a constante, temos
e finalmente
Passo 6
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
y = \displaystyle \frac{1}{C - e^{\cos x}}