Nos problemas 7-16, resolva a equação.
y^-1 d y+y e^cos x sen x d x=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
y^-1,dy , + , y,e^cos x,sin x,dx = 0
Esse é um problema de equação de primeira ordem e separável.

Passo 2

Vamos reescrever em termos de derivada para identificar a separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por ,dx e multiplicando por y obtemos
dydx = -y^2,e^cos x,sin x
Isso mostra que as variáveis podem ser separadas (todas as y de um lado e x do outro).

Passo 3

Separamos as variáveis dividindo por y^2 e isolando os termos com x:
1y^2,dy = -e^cos x,sin x,dx
Aqui usamos que y não é zero para podermos dividir por y^2.

Passo 4

Agora integramos os dois lados:
integral y^-2,dy = -integral e^cos x,sin x,dx
No lado esquerdo,
integral y^-2,dy = -1y + C1
No lado direito, fazemos a substituição u = \cos x, de onde du = -\sin x,dx, logo
integral e^cos x,sin x,dx = -integral e^u,du = -e^u + C2 = -e^cos x + C2
Portanto,
-1y = -l(-e^cos x + C2r) = e^cos x + C,
onde C = -C_2 + C_1 é uma constante arbitrária.

Passo 5

Multiplicando por -1 e reorganizando a constante, temos
1y = -e^cos x + C'
e finalmente
y = 1C' - e^cos x

Passo 6

Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

y = \displaystyle \frac{1}{C - e^{\cos x}}

Exercícios relacionados