Nos problemas 7-16, resolva a equação.
d yd x=xy^2 raiz1+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=xy^2raiz1+x. Esse é um problema de equação de variáveis separáveis, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e depois integrar cada lado.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
y^2,dy=xraiz1+x,dx
Isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^2,dy=integral xraiz1+x,dx
No lado esquerdo usamos a primitiva de potência. No direito, faremos a substituição t=1+x, logo dx=dt e x=t-1.

Passo 4

Calculamos as integrais:
Lado esquerdo:
integral y^2,dy=y^33+C1
Lado direito com t=1+x:
integral t-1raizt,dt=integrall(t^1/2-t^-1/2r)dt=23t^3/2-2t^1/2+C2
Voltando a x, isso dá
23(1+x)^3/2-2(1+x)^1/2+C2

Passo 5

Igualamos as duas primitividades e agrupamos as constantes C1 e C2 numa única constante geral C. Multiplicando por 3 para simplificar, obtemos a solução implícita:
y^3=2(1+x)^3/2-6(1+x)^1/2+C

Resposta

y^3=2(1+x)^3/2-6(1+x)^1/2+C

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