Calcule o limite: lim x 5(x^3-7 x^2+4 x+30x^2-25)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 5 da função . Aqui, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 5^3 - 7 cdot 5^2 + 4 cdot 5 + 30 = 125 - 175 + 20 + 30 = 0 diretamente na função para ver o que acontece:
No numerador:
5^2 - 25 = 25 - 25 = 0
No denominador:
Então, ao substituir , obtemos a forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.
Primeiro, olha o denominador x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^3 - 7x^2 + 4x + 30 = (x - 5)(x^2 - 2x - 6)
Agora, vamos fatorar o numerador . Sabemos que é uma raiz porque ao substituir no numerador dá zero. Então, podemos dividir o polinômio por usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini. Fazendo isso, encontramos que:

Passo 4

Agora que factorizamos tanto o numerador quanto o denominador, a expressão fica:
(x - 5)(x^2 - 2x - 6)(x - 5)(x + 5)
Podemos cancelar o fator comum x^2 - 2x - 6x + 5 :
5^2 - 2 cdot 5 - 65 + 5 = 25 - 10 - 610 = 910
Agora, podemos fazer a substituição direta de sem problemas:

Resposta

O limite é .

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