Calcule o limite:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício é de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento do numerador e do denominador se comporta quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando
se aproxima de 0.
-
Numerador:
. Quando , . -
Denominador:
. Vamos calcular cada parte: -
quando se aproxima de , porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor. -
quando se aproxima de .
-
Então, o denominador
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que acontece com a fração
quando o numerador está se aproximando de
e o denominador está se aproximando de
.
Quando temos uma fração onde o numerador se aproxima de um número finito diferente de zero e o denominador se aproxima de zero, o limite tende para infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais:
- Numerador:
é negativo. - Denominador:
é sempre positivo (já que é um quadrado) e é positivo perto de . Então, o denominador se aproxima de por valores positivos.
Passo 4
Como o numerador é negativo e o denominador está se aproximando de zero por valores positivos, a fração inteira
se torna um número muito grande negativo.
Isso significa que o limite tende para
.