Calcule o limite: lim x 2(4-x^23-raizx^2+5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . Isso envolve o estudo de limites em funções algebraicas.

Passo 2

Vamos tentar substituir 4 - (2)^23 - raiz(2)^2 + 5 = 4 - 43 - raiz4 + 5 = 03 - 3 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indefinida , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, podemos simplificar o numerador 4 - x^2 = (2)^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x) . Isso pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
(2 - x)(2 + x)3 - raizx^2 + 5
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador (2 - x)(2 + x)3 - raizx^2 + 5 times 3 + raizx^2 + 53 + raizx^2 + 5 . Para eliminar a raiz, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é :

Passo 5

Multiplicando os denominadores usando a identidade (3 - raizx^2 + 5)(3 + raizx^2 + 5) = 9 - (x^2 + 5) = 4 - x^2 :
(2 - x)(2 + x)(3 + raizx^2 + 5)4 - x^2
Então, a expressão fica:

Passo 6

Observe que (2 - x)(2 + x)(3 + raizx^2 + 5)(2 - x)(2 + x) = 3 + raizx^2 + 5 no denominador é igual a , que está presente no numerador. Podemos cancelar esses termos:

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo 3 + raiz(2)^2 + 5 = 3 + raiz4 + 5 = 3 + raiz9 = 3 + 3 = 6 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 6.

Exercícios relacionados