Encontre as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, utilizando a definição:
b) f(x, y)=4 x^2-3 x y

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que envolve calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a partial fpartial x = limh to 0 f(x+h, y) - f(x, y)h , ou seja, . A definição da derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular f(x+h, y) = 4(x+h)^2 - 3(x+h)y = 4(x^2 + 2xh + h^2) - 3xy - 3hy = 4x^2 + 8xh + 4h^2 - 3xy - 3hy :

Passo 4

Subtraindo f(x+h, y) - f(x,y) = (4x^2 + 8xh + 4h^2 - 3xy - 3hy) - (4x^2 - 3xy) = 8xh + 4h^2 - 3hy :

Passo 5

Dividindo pelo f(x+h, y) - f(x,y)h = 8xh + 4h^2 - 3hyh = 8x + 4h - 3y :

Passo 6

Tomando o limite quando partial fpartial x = limh to 0 (8x + 4h - 3y) = 8x - 3y :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a partial fpartial y = limk to 0 f(x, y+k) - f(x, y)k , ou seja, . A definição é:

Passo 8

Calculando f(x, y+k) = 4x^2 - 3x(y+k) = 4x^2 - 3xy - 3xk :

Passo 9

Subtraindo f(x, y+k) - f(x,y) = (4x^2 - 3xy - 3xk) - (4x^2 - 3xy) = -3xk :

Passo 10

Dividindo por f(x, y+k) - f(x,y)k = -3xkk = -3x :

Passo 11

Tomando o limite quando partial fpartial y = limk to 0 (-3x) = -3x :

Resposta

partial fpartial x = 8x - 3y e partial fpartial y = -3x

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