Calcule o limite: lim x infty(raizx^2+x-raizx^2-x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(raizx^2+x-raizx^2-xr)
Estamos lidando com uma indeterminação do tipo infty-infty, e vamos usar a racionalização para resolvê-la.

Passo 2

Aplicamos a racionalização multiplicando e dividindo pela conjugada raizx^2+x+raizx^2-x. Assim,
raizx^2+x-raizx^2-x = l(raizx^2+x-raizx^2-xr)l(raizx^2+x+raizx^2-xr)raizx^2+x+raizx^2-x = x^2+x - (x^2-x)raizx^2+x+raizx^2-x = 2xraizx^2+x+raizx^2-x

Passo 3

Fatoramos x dentro de cada raiz:
raizx^2pm x = xraiz1pm 1x
Portanto a expressão fica
2xraizx^2+x+raizx^2-x = 2x,xl(raiz1+tfrac1x+raiz1-tfrac1xr) = 2raiz1+tfrac1x+raiz1-tfrac1x

Passo 4

Agora tomamos o limite quando xtoinfty. Note que
limxtoinftyraiz1+tfrac1x=1 e limxtoinftyraiz1-tfrac1x=1,
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limxtoinftyl(raiz1+tfrac1x+raiz1-tfrac1xr)=2

Resposta

1

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