Seja uma função diferenciável em . Suponha que
(I) A imagem da curva esteja contida no gráfico de ;
(I) possua imagem contida em uma curva de nível de .
(a) Calcule ;
(b) Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico de .
Passo 1
O enunciado trata de uma função diferenciável e dá duas curvas:
– está no gráfico de , ou seja .
– está numa curva de nível de , ou seja é constante em .
Pede-se (a) e (b) o plano tangente ao gráfico de em .
Passo 2
Da condição no gráfico de segue
Em particular, para todos os pontos com ,
Passo 3
O ponto satisfaz , logo usa-se a fórmula acima para obter
Passo 4
Para encontrar as derivadas parciais no ponto precisamos de duas relações. Da relação
derivamos em , usando a regra da cadeia:
Assim, para todo ,
Passo 5
Da condição de curva de nível segue, diferenciando em :
Ou seja, para todo ,
Passo 6
No ponto corresponde e . Substituindo nas duas relações:
(1) de : , isto é
(2) de : , ou seja
Resolvendo o sistema:
obtemos
fx(-1,1)=-15, fy(-1,1)=25
Passo 7
O plano tangente ao gráfico de f em (-1,1,1/2) é dado por