(2 , 5) Seja f uma função diferenciável em R^2. Suponha que
(I) A imagem da curva gamma(t)=(t, t^2, t^2 / 2), t in R esteja contida no gráfico de f;
(I) sigma(u)=(2 u-1, u^2+u+1), u in R possua imagem contida em uma curva de nível de f.
(a) Calcule f(-1,1);
(b) Encontre uma equação para o plano tangente ao gráfico de f em(-1,1, f(-1,1)).

Passo 1

O enunciado trata de uma função diferenciável fcolon R^2toR e dá duas curvas:
gamma(t)=(t,t^2,t^2/2) está no gráfico de f, ou seja f(t,t^2)=t^2/2.
sigma(u)=(2u-1,;u^2+u+1) está numa curva de nível de f, ou seja f(2u-1,u^2+u+1) é constante em u.
Pede-se (a) f(-1,1) e (b) o plano tangente ao gráfico de f em (-1,1,f(-1,1)).

Passo 2

Da condição gamma no gráfico de f segue
f(t,t^2)=t^22
Em particular, para todos os pontos (x,y) com y=x^2,
f(x,y)=y2

Passo 3

O ponto (-1,1) satisfaz 1=(-1)^2, logo usa-se a fórmula acima para obter
f(-1,1)=12

Passo 4

Para encontrar as derivadas parciais no ponto precisamos de duas relações. Da relação
f(t,t^2)=t^22
derivamos em t, usando a regra da cadeia:
ddtf(t,t^2) =fx(t,t^2)cdot1 + fy(t,t^2)cdot2t =;t
Assim, para todo t,
fx(t,t^2)+2t,fy(t,t^2)=t

Passo 5

Da condição de curva de nível f(2u-1,u^2+u+1)=constante segue, diferenciando em u:
fx(2u-1,dots)cdot2 +fy(2u-1,dots)cdot(2u+1) =0
Ou seja, para todo u,
2,fx(2u-1,u^2+u+1)+(2u+1),fy(2u-1,u^2+u+1)=0

Passo 6

No ponto (-1,1) corresponde t=-1 e u=0. Substituindo nas duas relações:
(1) de gamma: fx(-1,1)+2(-1)fy(-1,1)=-1, isto é
fx(-1,1)-2fy(-1,1)=-1
(2) de sigma: 2fx(-1,1)+(2cdot0+1)fy(-1,1)=0, ou seja
2fx(-1,1)+fy(-1,1)=0
Resolvendo o sistema:
fx-2fy=-1, 2fx+fy=0,
obtemos
fx(-1,1)=-15, fy(-1,1)=25

Passo 7

O plano tangente ao gráfico de f em (-1,1,1/2) é dado por
z-12 =fx(-1,1),(x+1)+fy(-1,1),(y-1)
Substituindo fx e fy:
z-12 =-15(x+1)+25(y-1)

Resposta

(a) f(-1,1)=tfrac12
(b) z-tfrac12=-tfrac15(x+1)+tfrac25(y-1)

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