Seja
.
(a) Calcule
e
quando
;
(b) Calcule, caso existam,
e
, quando
; Atenção, aqui talvez você precise separar em 2 casos
(c) Em que pontos
é diferenciável? JUSTIFIQUE!
(a) Calcule
(b) Calcule, caso existam,
(c) Em que pontos
Passo 1
O enunciado define a função
e pede (a) as derivadas parciais quando
, (b) as derivadas parciais no caso
, e (c) os pontos de diferenciabilidade de
.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais via regra da cadeia e crítica da diferenciabilidade em pontos onde o argumento do radical se anula.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais via regra da cadeia e crítica da diferenciabilidade em pontos onde o argumento do radical se anula.
Passo 2
Para
temos
e
. Pela regra da cadeia,
Logo,
Passo 3
No ponto
temos
. Para a derivada em relação a
usamos o quociente de diferenças:
Mas
então
Para
esse limite diverge (vai a
), logo não existe. Para
temos
isto é,
. De modo semelhante,
Concluímos que em
só existem derivadas parciais quando
, valendo
e
.
Passo 4
Para
as fórmulas do Passo 2 são contínuas em torno do ponto, então
é de classe
aí e, portanto, diferenciável.
Em qualquer com
nem as derivadas parciais existem, logo
não é diferenciável.
No ponto , embora existam parciais, o resto da aproximação linear não é
: ao aproximar por retas
com
o termo de erro não tende a zero relativo à norma
. Assim,
não é diferenciável em
.
Em qualquer
No ponto
Resposta
(a) Para
:
(b) Em
as derivadas existem só se
, e valem
(c)
é diferenciável exatamente nos pontos em que
.