(3, 0) Seja f(x, y)=(x^3-y^3)^13.
(a) Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) quando x neq y;
(b) Calcule, caso existam, partial fpartial x(a, b) e partial fpartial y(a, b), quando a=b; Atenção, aqui talvez você precise separar em 2 casos
(c) Em que pontos f é diferenciável? JUSTIFIQUE!

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=l(x^3-y^3r)^13
e pede (a) as derivadas parciais quando xneq y, (b) as derivadas parciais no caso a=b, e (c) os pontos de diferenciabilidade de f.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais via regra da cadeia e crítica da diferenciabilidade em pontos onde o argumento do radical se anula.

Passo 2

Para xneq y temos u=x^3-y^3 e f(u)=u^1/3. Pela regra da cadeia,
dfdu=13u^-2/3, partial upartial x=3x^2, partial upartial y=-3y^2
Logo,
partial fpartial x =13l(x^3-y^3r)^-!2/3cdot 3x^2 = x^2,(x^3-y^3)^-!2/3,
partial fpartial y =13l(x^3-y^3r)^-!2/3cdot(-3y^2) =-,y^2,(x^3-y^3)^-!2/3

Passo 3

No ponto (a,a) temos f(a,a)=0. Para a derivada em relação a x usamos o quociente de diferenças:
partial fpartial x(a,a) =limhto0f(a+h,a)-f(a,a)h =limhto0l((a+h)^3-a^3r)^1/3h
Mas
(a+h)^3-a^3 = h,(3a^2+3a,h+h^2),
então
l((a+h)^3-a^3r)^1/3h =h^-2/3,l(3a^2+3a,h+h^2r)^1/3
Para aneq0 esse limite diverge (vai a infty), logo não existe. Para a=0 temos
l(h^3r)^1/3h =hh=1,
isto é, partialxf(0,0)=1. De modo semelhante,
partial fpartial y(0,0) =limkto0[0-(k)^3]^1/3k =-1
Concluímos que em (a,a) só existem derivadas parciais quando (a,a)=(0,0), valendo
partialxf(0,0)=1 e partialyf(0,0)=-1.

Passo 4

Para xneq y as fórmulas do Passo 2 são contínuas em torno do ponto, então f é de classe C^1 aí e, portanto, diferenciável.
Em qualquer (a,a) com aneq0 nem as derivadas parciais existem, logo f não é diferenciável.
No ponto (0,0), embora existam parciais, o resto da aproximação linear não é o(| (x,y)|): ao aproximar por retas y=kx com kneq0,1 o termo de erro não tende a zero relativo à norma raizx^2+y^2. Assim, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) Para :
(b) Em as derivadas existem só se , e valem
(c) é diferenciável exatamente nos pontos em que .

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