Calcule o limite: lim x 2 |x-2|x^3-8.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto 2 |x-2|x^3 - 8
O conteúdo envolve fatoração de diferença de cubos, tratamento de valor absoluto e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Fatoramos o denominador usando diferença de cubos:
x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

Passo 3

Analisamos separadamente os casos x>2 e x<2, pois |x-2| muda de sinal.
Para x>2, |x-2| = x-2 e
|x-2|x^3-8 = x-2(x-2)(x^2 + 2x + 4) = 1x^2 + 2x + 4
Para x<2, |x-2| = -(x-2) e
|x-2|x^3-8 = -(x-2)(x-2)(x^2 + 2x + 4) = -1x^2 + 2x + 4

Passo 4

Calculamos o limite pela direita ( xto2^+):
limxto2^+ |x-2|x^3-8 = limxto2^+ 1x^2 + 2x + 4 = 12^2 + 2cdot2 + 4 = 112

Passo 5

Calculamos o limite pela esquerda ( xto2^-):
limxto2^- |x-2|x^3-8 = limxto2^- l(-1x^2 + 2x + 4r) = -112

Passo 6

Como
limxto2^- = -tfrac112 e limxto2^+ = tfrac112 são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
limxto2^-|x-2|x^3-8=-112 e limxto2^+|x-2|x^3-8=112

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