Determine as assíntotas da curva f(x)=x-9raiz[4]16 x^4+3 x+2.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas da curva
f(x)=x-9raiz[4]16x^4+3x+2
Aqui vamos precisar:
– verificar o domínio e possíveis assíntotas verticais (quando o denominador zera),
– estudar o comportamento de f(x) quando xto+infty e xto-infty para achar assíntotas horizontais ou oblíquas.

Passo 2

Determinamos o domínio resolvendo
16x^4+3x+2=0
Note que 16x^4>=0 para todo x e, numericamente, 16x^4+3x+2>0 em todos os reais. Logo o denominador nunca zera e o domínio é R. Não há, portanto, assíntotas verticais.

Passo 3

Estudamos xto+infty. Para x grande,
raiz[4]16x^4+3x+2 =l(16x^4r)^1/4,l(1+tfrac3x+216x^4r)^1/4 =2xl(1+O(x^-3)r)
Assim
f(x) =x-92x,(1+O(x^-3)) =x2x-92x+O(x^-4) =12-92x+O(x^-4),
que tende a tfrac12. Portanto existe assíntota horizontal
y=tfrac12quando xto+infty

Passo 4

Agora xto-infty. Nesse caso raiz[4]16x^4=2|x|=-2x. Logo
f(x) =x-9-2x+O(x^-2) =-12+92x+O(x^-4),
que tende a -tfrac12. Assim surge a assíntota horizontal
y=-tfrac12quando xto-infty

Passo 5

Como f(x) aproxima-se de constantes em ambas as pontas, não há assíntotas oblíquas (seria necessário que f(x)sim mx+b com mneq0).

Resposta

As assíntotas são
y=tfrac12(xto+infty),
y=-tfrac12(xto-infty)

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