Calcule o limite:
lim x pi2 e^tg x

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtotfracpi2 e^tgx. O conteúdo principal aqui é limites envolvendo funções trigonométricas que têm assíntotas verticais e a função exponencial, que é contínua em todo R. Para resolver, vamos olhar o comportamento de tgx quando x se aproxima de tfracpi2 pelos dois lados e depois usar a continuidade de e^u.

Passo 2

Primeiro, lembramos que tgx = tan x tem assíntota vertical em x = tfracpi2 + kpi. Em particular,
limxtotfracpi2^- tan x = +infty e limxtotfracpi2^+ tan x = -infty

Passo 3

Como a exponencial é contínua, podemos transferir o limite para o expoente:
limxto a e^tan x = e^limxto atan x, desde que este último exista (se for pminfty, interpretamos como comportamento da exponencial em infinitos).
Agora calculamos as duas limites laterais de e^tan x:
limxtotfracpi2^- e^tan x = e^+infty = +infty,
limxtotfracpi2^+ e^tan x = e^-infty = 0

Passo 4

Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( +infty e 0), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois as duas limites laterais são diferentes (pela esquerda dá +∞ e pela direita dá 0).

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