Calcule o limite:
lim x 8 raiz[3]x-2x-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 8raiz[3]x-2x-8que é um caso clássico de limite do tipo 0/0. O conteúdo aqui envolve fatoração de diferença de cubos e limites de funções.

Passo 2

Vamos definir a=raiz[3]x e b=2. Observe que a^3=x e b^3=8, então o denominador x-8 pode ser escrito como a^3-b^3. Usamos a fatoração de diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
Logo, a expressão original fica
raiz[3]x-2x-8=a-ba^3-b^3=a-b(a-b)(a^2+ab+b^2)=1a^2+ab+b^2

Passo 3

Como xto 8 implica a=raiz[3]xto raiz[3]8=2, substituímos na expressão simplificada:
a^2+ab+b^2=2^2+2cdot2+2^2=4+4+4=12

Resposta

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