(Desigualdade triângular generalizada) Sejam uma quantidade finita de números reais. Prove que
Passo 1
Vamos resumir o que temos: queremos mostrar que, para quaisquer números reais , vale . O conteúdo central aqui é o valor absoluto e a técnica de indução mais a desigualdade triangular simples para dois termos.
Passo 2
Primeiro, tratamos o caso base n=1. A soma tem só um termo, então
l|a1r| <= |a1|,
o que é trivialmente verdadeiro.
Passo 3
Agora, assumimos que a desigualdade vale para n termos, ou seja
l|a1+cdots+anr| <= |a1|+cdots+|an|
Passo 4
Vamos provar que daí decorre o caso com n+1 termos. Denotemos
Sn = a1+cdots+an
Passo 5
Então a soma com n+1 termos é
Sn+1 = Sn + an+1
Passo 6
Aplicando a desigualdade triangular para dois números reais, temos
l|Sn+1r| = l|Sn + an+1r| <= |Sn| + |an+1|
Passo 7
Pelos nossos passos anteriores, |Sn|<= |a1|+cdots+|an|. Logo