(Desigualdade triângular generalizada) Sejam a1, a2, ldots, an uma quantidade finita de números reais. Prove que
|a1+a2+cdots+an| <=|a1|+|a2|+cdots+|an|

Passo 1

Vamos resumir o que temos: queremos mostrar que, para quaisquer números reais a1,a2,dots,an, vale l|a1+ a2+cdots +anr|<= |a1|+|a2|+cdots+|an|. O conteúdo central aqui é o valor absoluto e a técnica de indução mais a desigualdade triangular simples para dois termos.

Passo 2

Primeiro, tratamos o caso base n=1. A soma tem só um termo, então
l|a1r| <= |a1|,
o que é trivialmente verdadeiro.

Passo 3

Agora, assumimos que a desigualdade vale para n termos, ou seja
l|a1+cdots+anr| <= |a1|+cdots+|an|

Passo 4

Vamos provar que daí decorre o caso com n+1 termos. Denotemos
Sn = a1+cdots+an

Passo 5

Então a soma com n+1 termos é
Sn+1 = Sn + an+1

Passo 6

Aplicando a desigualdade triangular para dois números reais, temos
l|Sn+1r| = l|Sn + an+1r| <= |Sn| + |an+1|

Passo 7

Pelos nossos passos anteriores, |Sn|<= |a1|+cdots+|an|. Logo
l|Sn+1r| <= l(|a1|+cdots+|an|r) + |an+1| = |a1|+cdots+|an|+|an+1|

Passo 8

Isso conclui a etapa indutiva.
Portanto, por indução matemática, a desigualdade
l|a1+a2+cdots+anr| <= |a1|+|a2|+cdots+|an|
vale para todo n natural.

Resposta

l|a1+a2+cdots+anr| <= |a1|+|a2|+cdots+|an|.

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