Mostre que a^2+a b+b^2 >= 0 quaisquer que sejam os reais a e b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais a e b, vale a^2 + ab + b^2 >= 0. O conteúdo principal aqui é completar o quadrado para reescrever a expressão como soma de quadrados.

Passo 2

Para completar o quadrado, observamos que podemos agrupar a^2 + ab + b^2 em torno de a. Vamos escrever a expressão na forma (a + k b)^2 + C b^2 para encontrar k e C:
Escolhendo k = tfrac12, temos
a^2 + ab + b^2 = l(a + tfrac12 br)^2 + C b^2
Expandindo l(a + tfrac12 br)^2 obtemos
l(a + tfrac12 br)^2 = a^2 + ab + tfrac14 b^2
Para igualar à expressão original, ajustamos C b^2 de modo que
a^2 + ab + b^2 = a^2 + ab + tfrac14 b^2 + C b^2 = a^2 + ab + l(tfrac14 + Cr)b^2
Logo, para ter tfrac14 + C = 1, precisamos de C = tfrac34. Assim
a^2 + ab + b^2 = l(a + tfrac12 br)^2 + tfrac34 b^2

Passo 3

Como ambos os termos l(a + tfrac12 br)^2 e tfrac34 b^2 são sempre não-negativos (qualquer quadrado é >=0), sua soma também é não-negativa para quaisquer a,b.

Resposta

a^2 + ab + b^2 = l(a + tfrac12 br)^2 + tfrac34 b^2 >= 0

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