Exercício 2 Resolva cada uma das inequações abaixo e escreva a solução utilizando notação de intervalos. Considere: d 8=1 ; d 7=8 ; d 6=5.
|x-d|+|x+d|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de valores absolutos |x - d| + |x + d| > x e expressar a solução em notação de intervalos. O conteúdo envolve inequações com valor absoluto, o que geralmente fazemos dividindo a reta real em intervalos onde cada valor absoluto se “abre” em expressão linear.

Passo 2

Primeiro aplicamos a definição de dígitos fornecida para obter o valor de d. Como d8 = 1, d7 = 8 e d6 = 5, formamos o número de três dígitos d = 100cdot d8 + 10cdot d7 + d6 = 100cdot1 + 10cdot8 + 5 = 185.

Passo 3

Para resolver |x - 185| + |x + 185| > x, dividimos a reta real em três regiões baseadas nos pontos críticos -185 e 185:
  • Se x <= -185, então x-185 <= -370<0 e x+185 <= 0. Logo:
|x-185| = -(x-185) = -x+185, |x+185| = -(x+185) = -x-185
Somando,
|x-185| + |x+185| = (-x+185) + (-x-185) = -2x
A inequação fica -2x > x, ou seja -3x > 0 e, portanto, x < 0. Mas estamos em x <= -185, que já satisfaz x<0. Então todo o intervalo é solução.

Passo 4

  • Se -185 < x < 185, temos x-185<0 e x+185>0. Então
|x-185| = -(x-185) = -x+185, |x+185| = x+185
Somando,
|x-185| + |x+185| = (-x+185)+(x+185) = 370
A inequação 370 > x vale para todo x < 370, e como estamos em -185 < x < 185, isso sempre acontece. Logo, todo esse intervalo também é solução.

Passo 5

  • Se x >= 185, então x-185>=0 e x+185>0. Logo
|x-185| = x-185, |x+185| = x+185
Somando,
|x-185| + |x+185| = (x-185)+(x+185) = 2x
A inequação 2x > x equivale a x > 0, que é automática para x >= 185. Assim, todo [185, +infty) é solução.

Passo 6

Como os três pedaços cobrem toda a reta real e em cada parte a inequação é satisfeita, a solução final é todo R.

Resposta

(-\infty, +\infty)

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