Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan (5 x)}{e^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to0}\frac{\arctan(5x)}{e^x-1}.
Este é um limite do tipo 0/0, e podemos usar a regra de l’Hôpital (ou expansão em séries de Taylor) para resolvê-lo.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada pela substituição direta:
\arctan(5\cdot0)=0 e e^0-1=0. Logo, temos 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[\arctan(5x)\bigr] = \frac{5}{1+(5x)^2}, \quad \frac{d}{dx}\bigl[e^x-1\bigr] = e^x.
Então o limite fica
\lim_{x\to0}\frac{\frac{5}{1+(5x)^2}}{e^x}.

Passo 4

Avaliar em x=0:
\frac{5/(1+0)}{e^0} = \frac{5}{1} =5.

Resposta

5

Exercícios relacionados