Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin (x))^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}}(\sin(x))^{x}.
Aqui temos a forma “ 0^0” indeterminada, já que \sin(x)\to0 e x\to0. Para resolver, vamos usar a reescrita via exponencial e logaritmo.

Passo 2

Definimos
f(x) = (\sin(x))^{x} = \exp\bigl(x\ln(\sin(x))\bigr).
Para encontrar o limite de f(x), basta achar
\lim_{x\to0^{+}}x\ln(\sin(x))
e depois aplicar a exponencial.

Passo 3

Escrevemos
x\ln(\sin(x)) = x\bigl[\ln(x) + \ln\bigl(\tfrac{\sin(x)}{x}\bigr)\bigr] = x\ln(x) + x\ln\bigl(\tfrac{\sin(x)}{x}\bigr).
Sabemos que \lim_{x\to0^{+}}\tfrac{\sin(x)}{x}=1, logo \ln\bigl(\tfrac{\sin(x)}{x}\bigr)\to0. Assim,
\lim_{x\to0^{+}}x\ln\bigl(\tfrac{\sin(x)}{x}\bigr)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)=0
pois x\ln(x)\to0 quando x\to0^{+}. Portanto
\lim_{x\to0^{+}}x\ln(\sin(x)) = 0.

Passo 4

Voltando à função original,
\lim_{x\to0^{+}}(\sin(x))^{x} = \exp\Bigl(\lim_{x\to0^{+}}x\ln(\sin(x))\Bigr) = \exp(0) = 1.

Resposta

1

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