Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}+e^{3 x}\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+e^{3x}\bigr)^{1/x}.
O conteúdo aqui é manipulação de limites envolvendo potências e exponenciais, aproveitando que e^{3x} domina x^2 quando x\to+\infty.

Passo 2

Fatoramos e^{3x} dentro da expressão:
x^{2}+e^{3x}=e^{3x}\Bigl(1+x^{2}e^{-3x}\Bigr).
Então
\bigl(x^{2}+e^{3x}\bigr)^{1/x} =\bigl(e^{3x}\bigr)^{1/x}\,\bigl(1+x^{2}e^{-3x}\bigr)^{1/x} =e^{3}\,\bigl(1+x^{2}e^{-3x}\bigr)^{1/x}.

Passo 3

Observamos que
x^{2}e^{-3x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;0.
Logo, escrevemos \bigl(1+u(x)\bigr)^{1/x} com u(x)=x^{2}e^{-3x}\to0. Pelo limite básico
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+u(x)\bigr)^{1/x} =\exp\!\Bigl(\lim_{x\to+\infty}\frac{u(x)}{x}\Bigr)
e como
\frac{u(x)}{x}=\frac{x^{2}e^{-3x}}{x}=x\,e^{-3x}\;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\;0,
temos
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+x^{2}e^{-3x}\bigr)^{1/x} =e^{0}=1.

Passo 4

Combinando os resultados,
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+e^{3x}\bigr)^{1/x} =e^{3}\times1 =e^{3}.

Resposta

e^{3}

Exercícios relacionados