Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} 4 x}{x+\operatorname{sen} 2 x}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{x+\sin(2x)}.
O conteúdo é cálculo de limite envolvendo funções trigonométricas, usando os limites fundamentais \lim_{\theta\to0}\frac{\sin(\theta)}{\theta}=1 e \lim_{\theta\to0}\frac{\tan(\theta)}{\theta}=1.

Passo 2

Para tornar explícitos esses limites, dividimos numerador e denominador por x:
\frac{\tan(4x)}{x+\sin(2x)} =\frac{\tfrac{\tan(4x)}{x}}{1+\tfrac{\sin(2x)}{x}} =\frac{4\;\tfrac{\tan(4x)}{4x}}{1+2\;\tfrac{\sin(2x)}{2x}}.

Passo 3

Aplicamos os limites conhecidos: \lim_{x\to0}\tfrac{\tan(4x)}{4x}=1 e \lim_{x\to0}\tfrac{\sin(2x)}{2x}=1.
Substituindo, obtém-se
\lim_{x\to0}\frac{\tan(4x)}{x+\sin(2x)} =\frac{4\cdot1}{1+2\cdot1} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

Exercícios relacionados