Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{4 x}-1-4 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1 - 4x}{x^2}.
Este problema envolve limites que podem ser resolvidos usando a expansão em série de Taylor de e^{u} em torno de u=0.

Passo 2

Usamos a expansão de Taylor de e^{u} até a ordem u^2:
e^{u} = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2) \quad \text{quando }u\to0.
Aqui tomamos u = 4x. Logo,
e^{4x} = 1 + 4x + \frac{(4x)^2}{2} + o(x^2) = 1 + 4x + 8x^2 + o(x^2).

Passo 3

Subtraindo 1 + 4x do lado direito, o numerador fica
e^{4x} - 1 - 4x = 8x^2 + o(x^2).
Dividindo por x^2, temos
\frac{e^{4x} - 1 - 4x}{x^2} = \frac{8x^2 + o(x^2)}{x^2} = 8 + o(1).
À medida que x\to0, o termo o(1) tende a zero, sobrando 8.

Resposta

8

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