Considerando que \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C, resolva o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}(x)=\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y''(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2},\\\ y(0)=1,\\\ y'(0)=0, \end{cases}
usando que \displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+C. O método será integrar duas vezes: primeiro achar y'(x) a partir de y''(x) e depois y(x), ajustando as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Integramos y''(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2} para obter y'(x).
y'(x)=\int \frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx + C_1.
Fazendo a substituição u=1+x^2, du=2x\,dx, temos
\int \frac{x}{(1+x^2)^2}\,dx =\frac12\int u^{-2}\,du =-\frac1{2u}+C =-\frac1{2(1+x^2)}+C.

Passo 3

Logo
y'(x)=-\frac1{2(1+x^2)}+C_1.
Para encontrar C_1, usamos y'(0)=0:
0=y'(0)=-\frac1{2\cdot1}+C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac12.

Passo 4

Assim
y'(x)=-\frac1{2(1+x^2)}+\frac12 =\frac12\Bigl(1-\frac1{1+x^2}\Bigr) =\frac{x^2}{2(1+x^2)}.

Passo 5

Agora integramos y'(x)=\tfrac12\bigl(1-\tfrac1{1+x^2}\bigr) para achar y(x):
y(x)=\int y'(x)\,dx + C_2 =\frac12\int\!1\,dx -\frac12\int\frac{1}{1+x^2}\,dx + C_2.
Usando \displaystyle\int1\,dx = x e \displaystyle\int\frac1{1+x^2}dx=\arctan(x),
y(x)=\frac12\,x -\frac12\,\arctan(x) + C_2.

Passo 6

Por fim, aplicamos y(0)=1:
1=y(0)=\frac12\cdot0-\frac12\arctan(0)+C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2=1.

Resposta

\boxed{y(x)=1+\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\,\arctan(x).}

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