Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações do enunciado que vamos usar:
- A expressão da função no numerador é
. - A expressão da função no denominador é
. - O ponto em que se calcula o limite é
.
A pergunta é somente uma: encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente na expressão para ver se o limite é um valor finito imediato.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso indica que não podemos apenas substituir; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia: quando temos uma razão de polinômios com indeterminação
em um ponto, o método mais direto é fatorar os polinômios e cancelar fatores comuns. Outra opção seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), mas aqui a fatoração é mais elementar e rápida. Vou usar fatoração.
Passo 4
Fatorar o numerador
. Observando que a substituição em
dá zero, sabemos que
é um fator. Dividimos o polinômio por
(divisão sintética ou polinomial):
Dividindo
por
(síntese com
):
O quociente é
e o resto é
. Portanto
Agora fatoramos a quadrática
. Procuramos dois números cuja soma seja
e produto
; esses números são
e
. Assim
Combinando,
Passo 5
Fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados:
Passo 6
Reescrever a fração original com as fatorações obtidas:
Como estamos calculando o limite quando
se aproxima de
(e não avaliando exatamente em
), podemos simplificar cancelando o fator comum
presente no numerador e no denominador para
. Após cancelar um fator
ficamos com:
Passo 7
Agora que a expressão está simplificada e já não apresenta indeterminação para
, podemos avaliar o limite fazendo substituição direta:
Passo 8
Observação rápida alternativa (opcional): aplicando a regra de L’Hôpital — derivando numerador e denominador — teríamos
e em
isso dá
, concordando com o resultado obtido por fatoração. Usei a fatoração porque é mais direta e não requer cálculo diferencial.
Resposta
0