Calcule o limite:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3x+2}{x^{2}-1}.
Informações do enunciado que vamos usar:
  • A expressão da função no numerador é \,x^{3}-3x+2\,.
  • A expressão da função no denominador é \,x^{2}-1\,.
  • O ponto em que se calcula o limite é x\to1.
    A pergunta é somente uma: encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=1 diretamente na expressão para ver se o limite é um valor finito imediato.
\text{Numerador em }x=1:\quad 1^{3}-3\cdot1+2 = 1-3+2 = 0.
\text{Denominador em }x=1:\quad 1^{2}-1 = 0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso indica que não podemos apenas substituir; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia: quando temos uma razão de polinômios com indeterminação \frac{0}{0} em um ponto, o método mais direto é fatorar os polinômios e cancelar fatores comuns. Outra opção seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), mas aqui a fatoração é mais elementar e rápida. Vou usar fatoração.

Passo 4

Fatorar o numerador \,x^{3}-3x+2. Observando que a substituição em x=1 dá zero, sabemos que (x-1) é um fator. Dividimos o polinômio por (x-1) (divisão sintética ou polinomial):
Dividindo x^{3}+0x^{2}-3x+2 por (x-1) (síntese com 1):
\begin{aligned} &\text{Coeficientes: }1,\;0,\;-3,\;2\\\ &\text{Trazer }1\Rightarrow 1\\\ &1\times1=1\Rightarrow 0+1=1\\\ &1\times1=1\Rightarrow -3+1=-2\\\ &1\times(-2)=-2\Rightarrow 2-2=0 \end{aligned}
O quociente é x^{2}+x-2 e o resto é 0. Portanto
x^{3}-3x+2 = (x-1)(x^{2}+x-2).
Agora fatoramos a quadrática x^{2}+x-2. Procuramos dois números cuja soma seja 1 e produto -2; esses números são 2 e -1. Assim
x^{2}+x-2 = (x+2)(x-1).
Combinando,
x^{3}-3x+2 = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^{2}(x+2).

Passo 5

Fatorar o denominador \,x^{2}-1. Isso é uma diferença de quadrados:
x^{2}-1 = (x-1)(x+1).

Passo 6

Reescrever a fração original com as fatorações obtidas:
\frac{x^{3}-3x+2}{x^{2}-1} = \frac{(x-1)^{2}(x+2)}{(x-1)(x+1)}.
Como estamos calculando o limite quando x se aproxima de 1 (e não avaliando exatamente em x=1), podemos simplificar cancelando o fator comum (x-1) presente no numerador e no denominador para x\neq1. Após cancelar um fator (x-1) ficamos com:
\frac{(x-1)(x+2)}{x+1}.

Passo 7

Agora que a expressão está simplificada e já não apresenta indeterminação para x\to1, podemos avaliar o limite fazendo substituição direta:
\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{x+1} = \frac{(1-1)(1+2)}{1+1} = \frac{0\cdot 3}{2} = 0.

Passo 8

Observação rápida alternativa (opcional): aplicando a regra de L’Hôpital — derivando numerador e denominador — teríamos
\frac{d}{dx}(x^{3}-3x+2)=3x^{2}-3,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x,
e em x=1 isso dá \frac{3-3}{2}=0, concordando com o resultado obtido por fatoração. Usei a fatoração porque é mais direta e não requer cálculo diferencial.

Resposta

0

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