Calcule o limite:
(Fatoração - Trinômio do (\mathbf{2}^{\mathbf{O}}) Grau)
(Fatoração - Trinômio do (\mathbf{2}^{\mathbf{O}}) Grau)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a avaliar é a razão
. - O ponto de interesse é
. - Não há mais dados; a tarefa é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente na expressão para ver se dá um valor definido.
Calcular numerador em :
Calcular numerador em
Calcular denominador em
:
Logo, a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é necessário simplificar a expressão algébrica (por exemplo, fatorando) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. Para fatorar um trinômio quadrático da forma
, procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui
e
. Dois números que satisfazem isso são
e
, pois:
Portanto o numerador fatorado é
Passo 4
Agora fatoramos o denominador
. Reconhecemos a diferença de quadrados: para quaisquer
e
vale
. Aqui
, então
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original obtemos, para
,
Como estamos estudando limite quando
se aproxima de
(valores próximos, mas não necessariamente igual a
), podemos simplificar cancelando o fator comum
em numerador e denominador, ficando
Explicação didática: o cancelamento é válido porque limite depende do comportamento da função para
próximos de
, não necessariamente no próprio
. Assim podemos estudar o limite da função simplificada
.
Passo 6
A função simplificada
é uma função racional contínua no ponto
(o denominador
em
vale
). Para funções contínuas, o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Portanto avaliamos em
: