Calcule o limite:
(Fatoração - Trinômio do (\mathbf{2}^{\mathbf{O}}) Grau)
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é a razão \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}.
  • O ponto de interesse é x\to2.
  • Não há mais dados; a tarefa é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=2 diretamente na expressão para ver se dá um valor definido.
Calcular numerador em x=2:
2^{2}-5\cdot 2+6 = 4-10+6 = 0.
Calcular denominador em x=2:
2^{2}-4 = 4-4 = 0.
Logo, a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é necessário simplificar a expressão algébrica (por exemplo, fatorando) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador \,x^{2}-5x+6. Para fatorar um trinômio quadrático da forma \,x^{2}+bx+c, procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui b=-5 e c=6. Dois números que satisfazem isso são -2 e -3, pois:
(-2)+(-3)=-5,\qquad (-2)\cdot(-3)=6.
Portanto o numerador fatorado é
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \,x^{2}-4. Reconhecemos a diferença de quadrados: para quaisquer a e b vale \,a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aqui x^{2}-4=x^{2}-2^{2}, então
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original obtemos, para x\neq 2,
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}.
Como estamos estudando limite quando x se aproxima de 2 (valores próximos, mas não necessariamente igual a 2), podemos simplificar cancelando o fator comum (x-2) em numerador e denominador, ficando
\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-3}{x+2}\qquad\text{para }x\neq 2.
Explicação didática: o cancelamento é válido porque limite depende do comportamento da função para x próximos de 2, não necessariamente no próprio x=2. Assim podemos estudar o limite da função simplificada \dfrac{x-3}{x+2}.

Passo 6

A função simplificada \dfrac{x-3}{x+2} é uma função racional contínua no ponto x=2 (o denominador x+2 em x=2 vale 4\neq 0). Para funções contínuas, o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a. Portanto avaliamos em x=2:
\frac{x-3}{x+2}\Bigg|_{x=2}=\frac{2-3}{2+2}=\frac{-1}{4}.

Resposta

-\frac{1}{4}

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