Calcule o limite:
(Fatoração - Soma/Diferença de Cubos)
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x se aproxima de -1:
\lim_{x\to-1} \frac{x^{3}+1}{x+1}.
Informações dadas:
  • A expressão a analisar é \dfrac{x^{3}+1}{x+1}.
  • O ponto de interesse é x=-1.
    A tarefa é calcular esse limite.

Passo 2

Verificar a substituição direta para detectar indeterminação. Substituindo x=-1 na expressão:
\text{numerador } = (-1)^{3}+1 = -1+1 = 0, \qquad \text{denominador } = -1+1 = 0.
Como obtemos 0/0, isso é uma forma indeterminada. Portanto precisamos manipular a expressão para eliminar essa indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos usar a fatoração conhecida para soma de cubos. A identidade geral é, para quaisquer a e b,
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
Explicando por que essa fórmula funciona: expandindo o lado direito,
(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3} = a^{3}+b^{3},
ou seja, os termos mistos se cancelam e sobra a^{3}+b^{3}. Aqui a e b são quaisquer números (ou variáveis).

Passo 4

Aplicar a identidade com a=x e b=1. Assim:
x^{3}+1 = x^{3}+1^{3}=(x+1)\bigl(x^{2}-x\cdot1+1^{2}\bigr)=(x+1)(x^{2}-x+1).

Passo 5

Substituir essa fatoração no quociente do limite:
\frac{x^{3}+1}{x+1}=\frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{x+1}.
Para x\neq -1 podemos cancelar o fator (x+1), obtendo a expressão simplificada
\frac{x^{3}+1}{x+1}=x^{2}-x+1\qquad\text{(para }x\neq -1\text{).}

Passo 6

Argumento sobre o limite: a função simplificada x^{2}-x+1 é um polinômio. Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, portanto o limite quando x\to-1 da função simplificada é simplesmente o valor do polinômio em x=-1. Como a simplificação coincide com a função original para x próximos de -1 (exceto em -1 onde a original não está definida), o limite da original é igual ao valor do polinômio em -1. (Em termos técnicos, a singularidade em x=-1 é removível.)

Passo 7

Calcular o polinômio em x=-1:
x^{2}-x+1\bigg|_{x=-1} = (-1)^{2}-(-1)+1 = 1+1+1 = 3.

Passo 8

Portanto o limite pedido é 3.

Resposta

3

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