Calcule o limite:
(Conjugado/Racionalização - Raiz no Numerador e Denominador)
(Conjugado/Racionalização - Raiz no Numerador e Denominador)
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão tem raízes no numerador:
e . - Se substituirmos
diretamente no numerador obtemos e no denominador , então temos a forma indeterminada . - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Idéia que vamos usar (explicação didática do método do conjugado/racionalização).
- Quando temos uma diferença de raízes como
, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado . Isso vem da identidade de diferença de quadrados:
- Multiplicar por
não altera o valor, mas transforma a diferença de raízes numa expressão sem raízes no numerador, o que geralmente permite cancelar fatores que geravam a indeterminação. - Aqui vamos aplicar isso com
e . Esse passo é permitido porque estamos calculando um limite: podemos manipular a expressão para e depois tomar .
Passo 3
Multiplicando a fração pelo conjugado:
Passo 4
Usando a identidade de diferença de quadrados no numerador:
Logo a expressão fica
Passo 5
Cancelar o fator
(válido para
, que é o caso considerado ao calcular o limite):
Agora a expressão não é mais indeterminada quando
, e podemos tirar o limite direto usando a continuidade da raiz quadrada.
Passo 6
Calcular o limite substituindo
na expressão simplificada:
Passo 7
Verificação rápida por desenvolvimento em série (opcional, para ganhar confiança):
Para pequeno,
Para
portanto
e dividindo por
obtemos
, cujo limite é
. Isso confirma o resultado anterior.
Resposta
1