Calcule o limite:
(Conjugado/Racionalização - Raiz no Numerador e Denominador)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão tem raízes no numerador: \sqrt{1+x} e \sqrt{1-x}.
  • Se substituirmos x=0 diretamente no numerador obtemos \sqrt{1}-\sqrt{1}=0 e no denominador 0, então temos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Idéia que vamos usar (explicação didática do método do conjugado/racionalização).
  • Quando temos uma diferença de raízes como \sqrt{a}-\sqrt{b}, um truque clássico é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{a}+\sqrt{b}. Isso vem da identidade de diferença de quadrados:
(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b.
  • Multiplicar por \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=1 não altera o valor, mas transforma a diferença de raízes numa expressão sem raízes no numerador, o que geralmente permite cancelar fatores que geravam a indeterminação.
  • Aqui vamos aplicar isso com a=1+x e b=1-x. Esse passo é permitido porque estamos calculando um limite: podemos manipular a expressão para x\neq0 e depois tomar x\to0.

Passo 3

Multiplicando a fração pelo conjugado:
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} {x\bigl(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\bigr)}.

Passo 4

Usando a identidade de diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})=(1+x)-(1-x)=2x.
Logo a expressão fica
\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\bigr)}.

Passo 5

Cancelar o fator x (válido para x\neq0, que é o caso considerado ao calcular o limite):
\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\bigr)}=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\qquad (x\neq0).
Agora a expressão não é mais indeterminada quando x\to0, e podemos tirar o limite direto usando a continuidade da raiz quadrada.

Passo 6

Calcular o limite substituindo x\to0 na expressão simplificada:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1.

Passo 7

Verificação rápida por desenvolvimento em série (opcional, para ganhar confiança):
Para x pequeno,
\sqrt{1\pm x}=1\pm\frac{x}{2}+o(x),
portanto
\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}=\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right)-\left(1-\frac{x}{2}+o(x)\right)=x+o(x),
e dividindo por x obtemos 1+o(1), cujo limite é 1. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

1

Exercícios relacionados