Esboce o gráfico de uma função que satisfaça a todas as condições dadas.
f(0)=0, f é contínua e par.
f^{\prime}(x)=2 x \operatorname{se} 0<x<1, f^{\prime}(x)=-1 \operatorname{se} 1<x<3.
f^{\prime}(x)=1 se x>3

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de uma função f que é contínua, par, satisfaz f(0)=0 e cujas derivadas são dadas por partes em x>0. Como f é par, basta achar f(x) para x\ge0 e depois refletir em relação ao eixo y.

Passo 2

Para 0<x<1 temos
f'(x)=2x.
Integrando desde 0 (onde f(0)=0):
f(x)=\int_{0}^{x}2t\,dt = x^2.

Passo 3

Para 1<x<3 vale
f'(x)=-1.
Usando o valor f(1)=1^2=1 como condição inicial:
f(x)=f(1)+\int_{1}^{x}(-1)\,dt = 1 - (x-1) = 2 - x.

Passo 4

Para x>3 vale
f'(x)=1.
Usando f(3)=2-3=-1:
f(x)=f(3)+\int_{3}^{x}1\,dt = -1 + (x-3) = x - 4.

Passo 5

Como f é par, definimos para x<0 por
f(-x)=f(x).
Assim o gráfico em x<0 é o espelho do que foi obtido para x>0.

Resposta

f(x)= \begin{cases} x^2, & |x|\le1,\\\\ 2 - |x|, & 1<|x|\le3,\\\ |x| - 4, & |x|>3. \end{cases}
O esboço consiste em:
  1. Uma parábola f(x)=x^2 para -1\le x\le1.
  2. Dois segmentos de reta decrescentes de (1,1) a (3,-1) e simetricamente de (-1,1) a (-3,-1).
  3. Dois segmentos de reta crescentes com inclinação 1 para x>3 e com inclinação -1 para x<-3.

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