Calcule o limite:
lim x 0 sen(x)senh(x) lim x 0 senh(x)-xcos (x)+x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e quais conceitos do conteúdo vamos usar. Aqui, precisamos calcular dois limites envolvendo funções trigonométricas e hiperbólicas quando se aproxima de zero. Os conhecimentos que vamos precisar incluem séries de Taylor para as funções , , e . Vamos por partes e resolver cada limite passo a passo.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro limite: . Para resolver isso, vamos usar as séries de Taylor.

Passo 3

A série de Taylor para sin(x) = x - x^36 + O(x^5) em torno de zero é:
Isso significa que para valores pequenos de , pode ser aproximado por .

Passo 4

Agora, a série de Taylor para sinh(x) = x + x^36 + O(x^5) em torno de zero é:
Então, para valores pequenos de , é aproximadamente .

Passo 5

Substituindo essas aproximações no limite, temos:
sin(x)sinh(x) approx x - x^36x + x^36 = 1 - x^261 + x^26

Passo 6

Agora, para limx 0 1 - x^261 + x^26 = 11 = 1 tendendo a zero, os termos com se tornam insignificantes, então o limite é:

Passo 7

Agora, vamos para o segundo limite: . Também aqui vamos usar as séries de Taylor.

Passo 8

Primeiro, calculamos sinh(x) - x = ( x + x^36 + O(x^5) ) - x = x^36 + O(x^5) :

Passo 9

Agora, a série de Taylor para cos(x) = 1 - x^22 + O(x^4) em torno de zero é:
cos(x) + x = 1 - x^22 + x + O(x^4)
Portanto,

Passo 10

Substituindo no limite, temos:
sinh(x) - xcos(x) + x approx x^361 + x - x^22

Passo 11

Quando limx 0 x^361 + x - x^22 = 0 tende a zero, o denominador se aproxima de 1, enquanto o numerador tende a zero. Portanto,

Resposta

O primeiro limite vale 1 e o segundo limite vale 0.

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