Calcule o limite:
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede e quais conceitos do conteúdo vamos usar. Aqui, precisamos calcular dois limites envolvendo funções trigonométricas e hiperbólicas quando
se aproxima de zero. Os conhecimentos que vamos precisar incluem séries de Taylor para as funções
,
, e
. Vamos por partes e resolver cada limite passo a passo.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro limite:
. Para resolver isso, vamos usar as séries de Taylor.
Passo 3
A série de Taylor para
em torno de zero é:
Isso significa que para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por
.
Passo 4
Agora, a série de Taylor para
em torno de zero é:
Então, para valores pequenos de
,
é aproximadamente
.
Passo 5
Substituindo essas aproximações no limite, temos:
Passo 6
Agora, para
tendendo a zero, os termos com
se tornam insignificantes, então o limite é:
Passo 7
Agora, vamos para o segundo limite:
. Também aqui vamos usar as séries de Taylor.
Passo 8
Primeiro, calculamos
:
Passo 9
Agora, a série de Taylor para
em torno de zero é:
Portanto,
Passo 10
Substituindo no limite, temos:
Passo 11
Quando
tende a zero, o denominador se aproxima de 1, enquanto o numerador tende a zero. Portanto,
Resposta
O primeiro limite vale 1 e o segundo limite vale 0.