囲 Nos problemas seguintes determine o limite, se existir. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
a) lim x 2 3 x^2-5 x+2
b) lim x -1(x^2+1)(1-2 x)^2
c) lim x 1 / 3 x+1x+2
d) lim x 3 2 x+3x-3
e) lim x 2 x^2+x-6x-2
f) lim x 4 (x+1)(x-4)(x-1)(x-4)
g) lim x -2 x^2-x-6x^2+3 x+2
h) lim x 0 x(x^2-1)x^2
i) lim x 9 raizx-3x-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício que pede para calcular o limite da função $ 3x^{2} - 5x + 2 $ quando $ x $ se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções polinomiais. Para resolver, vamos lembrar que os limites de polinômios em um ponto são simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Como estamos lidando com um polinômio, não precisamos de técnicas complicadas como fatoração ou racionalização. Basta substituir $ x $ por 2 na expressão.

Passo 3

Vamos substituir:
3(2)^2 - 5(2) + 2
Calculando cada parte:
3 times 4 = 12
5 times 2 = 10
Então:
12 - 10 + 2 = 4

Passo 4

Agora, vamos para o segundo exercício: calcular o limite da função $ (x^{2} + 1)(1 - 2x)^{2} $ quando $ x $ se aproxima de -1. Estamos trabalhando novamente com limites de funções polinomiais e suas combinações.

Passo 5

Como a função é composta por produtos de polinômios, podemos calcular o limite de cada parte separadamente e depois multiplicar os resultados.

Passo 6

Primeiro, calculamos $ x^{2} + 1 $ para $ x = -1 $:
x^2 + 1
Em seguida, calculamos $ (1 - 2x)^{2} $ para $ x = -1 $:
x = -1
(-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Multiplicando os resultados:
(1 - 2x)^2

Passo 7

Vamos resolver o terceiro exercício: calcular o limite da função $ \frac{x + 1}{x + 2} $ quando $ x $ se aproxima de $ \frac{1}{3} $. Trata-se de um limite de uma função racional simples.

Passo 8

Primeiro, verificamos se o denominador se anula em $ x = \frac{1}{3} $. Se não, podemos simplesmente substituir.

Passo 9

Substituindo $ x = \frac{1}{3} $:
x = 13

Passo 10

O quarto exercício pede para calcular o limite da função $ \frac{2x + 3}{x - 3} $ quando $ x $ se aproxima de 3. Estamos lidando com um limite onde o denominador se aproxima de zero, o que pode indicar infinito ou inexistência do limite.

Passo 11

Vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita.

Passo 12

Substituindo valores próximos a 3:
  • Se $ x $ se aproxima de 3 pela direita ($ x > 3 $):
x
  • Se $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda ($ x < 3 $):
x > 3
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 13

Vamos para o quinto exercício: calcular o limite da função $ \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} $ quando $ x $ se aproxima de 2. Essa é uma função racional onde, ao substituir $ x = 2 $, obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Precisamos simplificar.

Passo 14

Vamos fatorar o numerador para ver se podemos cancelar o termo que está causando a indeterminação.

Passo 15

Fatorando o numerador:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
Então, a expressão fica:
(x + 3)(x - 2)x - 2
Cancelando $ x - 2 $:
x - 2
Agora, substituímos $ x = 2 $:
x + 3

Passo 16

O sexto exercício é calcular o limite da função $ \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 1)(x - 4)} $ quando $ x $ se aproxima de 4. Aqui, vemos que o termo $ x - 4 $ está no numerador e no denominador, o que sugere possibilidade de simplificação.

Passo 17

Vamos verificar se podemos simplificar a expressão antes de calcular o limite.

Passo 18

Simplificando a expressão:
(x + 1)cancel(x - 4)(x - 1)cancel(x - 4) = x + 1x - 1
Agora, substituímos $ x = 4 $:
x = 4

Passo 19

Vamos resolver o sétimo exercício: calcular o limite da função $ \frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} + 3x + 2} $ quando $ x $ se aproxima de -2. Novamente, temos uma forma racional onde precisamos verificar se podemos simplificar.

Passo 20

Primeiro, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 21

Fatorando o numerador:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Fatorando o denominador:
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Agora, a expressão fica:
Substituindo $ x = -2 $:
(x - 3)cancel(x + 2)(x + 1)cancel(x + 2) = x - 3x + 1

Passo 22

O oitavo exercício pede para calcular o limite da função $ \frac{x(x^{2} - 1)}{x^{2}} $ quando $ x $ se aproxima de 0. Vamos simplificar a expressão antes de calcular o limite.

Passo 23

Primeiro, vamos simplificar a expressão dividindo os termos.

Passo 24

Simplificando:
x(x^2 - 1)x^2 = x^3 - xx^2 = x^3x^2 - xx^2 = x - 1x
Agora, analisamos o comportamento quando $ x $ se aproxima de 0:
  • Se $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x > 0 $):
x
  • Se $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x < 0 $):
x
Os limites laterais não coincidem, então o limite geral não existe.

Passo 25

Finalmente, o nono exercício: calcular o limite da função $ \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} $ quando $ x $ se aproxima de 9. Aqui, ao substituir $ x = 9 $, obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos racionalizar para simplificar.

Passo 26

Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz.

Passo 27

Multiplicando:
raizx - 3x - 9 times raizx + 3raizx + 3 = x - 9(x - 9)(raizx + 3) = 1raizx + 3
Agora, substituímos $ x = 9 $:
x = 9

Resposta

O limite é igual a $ \frac{1}{6} $.

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