囲 Nos problemas seguintes determine o limite, se existir. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício que pede para calcular o limite da função $ 3x^{2} - 5x + 2 $ quando $ x $ se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções polinomiais. Para resolver, vamos lembrar que os limites de polinômios em um ponto são simplesmente o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Como estamos lidando com um polinômio, não precisamos de técnicas complicadas como fatoração ou racionalização. Basta substituir $ x $ por 2 na expressão.
Passo 3
Vamos substituir:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, vamos para o segundo exercício: calcular o limite da função $ (x^{2} + 1)(1 - 2x)^{2} $ quando $ x $ se aproxima de -1. Estamos trabalhando novamente com limites de funções polinomiais e suas combinações.
Passo 5
Como a função é composta por produtos de polinômios, podemos calcular o limite de cada parte separadamente e depois multiplicar os resultados.
Passo 6
Primeiro, calculamos $ x^{2} + 1 $ para $ x = -1 $:
Em seguida, calculamos $ (1 - 2x)^{2} $ para $ x = -1 $:
Multiplicando os resultados:
Passo 7
Vamos resolver o terceiro exercício: calcular o limite da função $ \frac{x + 1}{x + 2} $ quando $ x $ se aproxima de $ \frac{1}{3} $. Trata-se de um limite de uma função racional simples.
Passo 8
Primeiro, verificamos se o denominador se anula em $ x = \frac{1}{3} $. Se não, podemos simplesmente substituir.
Passo 9
Substituindo $ x = \frac{1}{3} $:
Passo 10
O quarto exercício pede para calcular o limite da função $ \frac{2x + 3}{x - 3} $ quando $ x $ se aproxima de 3. Estamos lidando com um limite onde o denominador se aproxima de zero, o que pode indicar infinito ou inexistência do limite.
Passo 11
Vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita.
Passo 12
Substituindo valores próximos a 3:
- Se $ x $ se aproxima de 3 pela direita ($ x > 3 $):
- Se $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda ($ x < 3 $):
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.
Passo 13
Vamos para o quinto exercício: calcular o limite da função $ \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} $ quando $ x $ se aproxima de 2. Essa é uma função racional onde, ao substituir $ x = 2 $, obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Precisamos simplificar.
Passo 14
Vamos fatorar o numerador para ver se podemos cancelar o termo que está causando a indeterminação.
Passo 15
Fatorando o numerador:
Então, a expressão fica:
Cancelando $ x - 2 $:
Agora, substituímos $ x = 2 $:
Passo 16
O sexto exercício é calcular o limite da função $ \frac{(x + 1)(x - 4)}{(x - 1)(x - 4)} $ quando $ x $ se aproxima de 4. Aqui, vemos que o termo $ x - 4 $ está no numerador e no denominador, o que sugere possibilidade de simplificação.
Passo 17
Vamos verificar se podemos simplificar a expressão antes de calcular o limite.
Passo 18
Simplificando a expressão:
Agora, substituímos $ x = 4 $:
Passo 19
Vamos resolver o sétimo exercício: calcular o limite da função $ \frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} + 3x + 2} $ quando $ x $ se aproxima de -2. Novamente, temos uma forma racional onde precisamos verificar se podemos simplificar.
Passo 20
Primeiro, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Passo 21
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Agora, a expressão fica:
Substituindo $ x = -2 $:
Passo 22
O oitavo exercício pede para calcular o limite da função $ \frac{x(x^{2} - 1)}{x^{2}} $ quando $ x $ se aproxima de 0. Vamos simplificar a expressão antes de calcular o limite.
Passo 23
Primeiro, vamos simplificar a expressão dividindo os termos.
Passo 24
Simplificando:
Agora, analisamos o comportamento quando $ x $ se aproxima de 0:
- Se $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x > 0 $):
- Se $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x < 0 $):
Os limites laterais não coincidem, então o limite geral não existe.
Passo 25
Finalmente, o nono exercício: calcular o limite da função $ \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} $ quando $ x $ se aproxima de 9. Aqui, ao substituir $ x = 9 $, obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos racionalizar para simplificar.
Passo 26
Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador para eliminar a raiz.
Passo 27
Multiplicando:
Agora, substituímos $ x = 9 $:
Resposta
O limite é igual a $ \frac{1}{6} $.