Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções abaixo. (Primeiro determine o domínio e os pontos de continuidade:)
f(x, y)=ln (x-yx^2+y^2)

Passo 1

Vamos resumir: a função é f(x,y)=lnl((x-y)/(x^2+y^2)r). O objetivo é achar primeiro o domínio (onde o log está bem definido) e depois os pontos de continuidade. Para isso, vamos usar a definição de domínio do log (argumento positivo) e a propriedade de continuidade de composições de funções elementares.

Passo 2

Para o domínio, o argumento do log deve ser estritamente positivo e o denominador não pode ser zero. Ou seja, precisamos de
x^2+y^2 neq 0 e x-yx^2+y^2>0

Passo 3

Como x^2+y^2>0 para todo (x,y)neq(0,0), a desigualdade fica equivalente a
x-y>0

Passo 4

Logo, o domínio é o semiplano aberto onde x>y.
A continuidade de f em seu domínio vem do fato de que subtração, soma de quadrados, divisão (quando o denominador é não nulo) e o ln são funções contínuas. A composição delas permanece contínua em todo o domínio encontrado.

Resposta

O domínio e, portanto, o conjunto dos pontos de continuidade é (x,y)inR^2mid x>y.

Exercícios relacionados