Em primeiro de janeiro de 2012, Jorge começou a trabalhar para uma empresa com salário mensal de R$ 4000,00, pago no último dia do mês. Em primeiro de julho, recebeu uma comissão de R$2000,00; em primeiro de setembro, o salário-base foi aumentado para R 4500,00 . Finalmente, em 21 de dezembro, recebeu uma bonificação de Natal igual a 1% do salário-base.
a) Faça um gráfico dos pagamentos recebidos por Jorge, P em função do tempo
(em dias) durante o ano de 2012.
b) Para que valores de t o gráfico de
é descontínuo?
a) Faça um gráfico dos pagamentos recebidos por Jorge, P em função do tempo
b) Para que valores de t o gráfico de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício sobre pagamentos ao longo do tempo. A questão envolve entender como os pagamentos de Jorge variam durante o ano de 2012, considerando salários, comissões e bônus. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de funções que representam mudanças ao longo do tempo e identificar pontos onde essas mudanças causam saltos no gráfico, ou seja, onde a função é descontínua.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os pagamentos que Jorge recebeu ao longo do ano:
- Salário mensal: R$4000,00, pago no último dia de cada mês.
- Comissão em 1º de julho: R$2000,00.
- Aumento de salário em 1º de setembro: novo salário de R$4500,00.
- Bônus de Natal em 21 de dezembro: 1% do salário base.
Passo 3
Vamos dividir o ano em períodos com salários constantes:
- Janeiro a Agosto (1º de janeiro a 31 de agosto): Salário de R$4000,00.
- Setembro a Dezembro (1º de setembro a 31 de dezembro): Salário de R$4500,00.
Passo 4
Agora, vamos considerar os pagamentos extras:
- 1º de julho: Recebeu uma comissão de R$2000,00.
- 21 de dezembro: Recebeu um bônus de 1% do salário base de setembro, que é 1% de R$4500,00 = R$45,00.
Passo 5
Para fazer o gráfico, vamos modelar a função $ P(t) $ onde $ t $ é o dia do ano (de 1 a 366, já que 2012 foi ano bissexto). A cada último dia do mês, Jorge recebe seu salário. Nos dias específicos de 1º de julho e 21 de dezembro, ele recebe pagamentos extras.
Passo 6
Vamos definir $ P(t) $ como uma função de degrau que aumenta no último dia de cada mês com o valor do salário, e também aumenta nos dias 1 de julho e 21 de dezembro com os valores correspondentes aos pagamentos extras.
Por exemplo:
- Em 31 de janeiro ($ t = 31 $): $ P(31) = 4000 $.
- Em 30 de junho ($ t = 182 $): $ P(182) = 4000 + 2000 = 6000 $.
- Em 31 de agosto ($ t = 244 $): $ P(244) = 4000 $.
- Em 30 de setembro ($ t = 274 $): $ P(274) = 4500 $.
- Em 21 de dezembro ($ t = 356 $): $ P(356) = 4500 + 45 = 4545 $.
E assim por diante para os demais meses.
Passo 7
Para a parte (b), precisamos identificar onde a função $ P(t) $ é descontínua. Descontinuidades ocorrem nos pontos onde há saltos no valor da função, ou seja, nos dias em que Jorge recebeu pagamentos extras ou houve aumento de salário.
Resposta
Os valores de $ t $ onde o gráfico de $ P(t) $ é descontínuo são:
- 31 de janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro (últimos dias de cada mês) devido aos salários.
- 1º de julho, onde recebeu uma comissão de R$2000,00.
- 1º de setembro, quando houve aumento do salário para R$4500,00.
- 21 de dezembro, ao receber a bonificação de Natal de R$45,00.
Esses pontos correspondem aos dias específicos do ano de 2012 onde ocorreram mudanças nos pagamentos de Jorge.